2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用（第2课时）导数与函数的极值、

第2课时导数与函数的极值、最值第三章§3.2导数的应用NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值多维探究例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)√命题点2求已知函数的极值例2(2018·阜新调研)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.命题点3根据极值(点)求参数例3已知函数f(x)＝若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为A.(－∞，e]B.[0，e]C.(－∞，e)D.[0，e)√exx2－k2x＋lnx，函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.思维升华跟踪训练1已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围.解∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴a＝1，∴f(x)≥bx－2，即1＋1x－lnxx≥b，令g(x)＝1＋1x－lnxx，则g′(x)＝lnx－2x2，令g′(x)＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－1e2，即b≤1－1e2，即实数b的取值范围为－∞，1－1e2.题型二用导数求函数的最值例4已知函数f(x)＝1－xx＋klnx，k1e，求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值.师生共研若例题条件中的k1e改为“k≥1e”，则函数f(x)在1e，e上的最小值是多少？引申探究(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.思维升华跟踪训练2已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x.当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围.题型三函数极值、最值的综合问题例5(2018·葫芦岛调研)已知函数f(x)＝(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；师生共研ax2＋bx＋cex(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.思维升华跟踪训练3若函数f(x)＝在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A.[－5,0)B.(－5,0)C.[－3,0)D.(－3,0)解析由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，√13x3＋x2－23令13x3＋x2－23＝－23，得x＝0或x＝－3，则结合图象可知，－3≤a0，a＋50，解得a∈[－3,0).例(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.答题模板DATIMUBAN利用导数求函数的最值课时作业2PARTTWO1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.√基础保分练123456789101112131415162.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于A.－4B.－2C.4D.2解析由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.√123456789101112131415163.函数y＝xex的最小值是A.－1B.－eC.－D.不存在解析因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x－1时，y′0；当x－1时，y′0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－故选C.√123456789101112131415161e1e.4.(2018·包头调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点.当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)0，当x1时，f′(x)0，∴f(x)在x＝1处取得极小值.故选C.√12345678910111213141516A.32，＋∞B.32，＋∞5.若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为解析若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c)2－120，12345678910111213141516解得c32或c－32.所以实数c的取值范围为－∞，－32∪32，＋∞.C.－∞，－32∪32，＋∞D.－∞，－32∪32，＋∞√6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件解析y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当0x3时，y′0；当x3时，y′0.故当x＝3时，该商品的年利润最大.√123456789101112131415167.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______________.解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程ex＋a＝0有大于零的解，∵当x0时，－ex－1，∴a＝－ex－1.12345678910111213141516(－∞，－1)解得a22.8.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是____________.解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－axa时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当xa或x－a时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a).∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a0且f(a)＝a3－3a3＋a0，22，＋∞∴a的取值范围是22，＋∞.123456789101112131415169.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________.－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.1234567891011121314151610.(2018·鞍山调研)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝_____.1解析由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.12345678910111213141516a12令f′(x)＝1x－a＝0，得x＝1a，当0x1a时，f′(x)0；当x1a时，f′(x)0.∴f(x)max＝f1a＝－lna－1＝－1，解得a＝1.11.设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切.(1)求实数a，b的值；解f′(x)＝ax－2bx，1234567891011121314151612∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，∴f′1＝a－2b＝0，f1＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12.∴f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，解由(1)知，f(x)＝lnx－12x2，(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值.f′(x)＝1x－x＝1－x2x，令f′(x)0，得1x≤e，当1e≤x≤e时，令f′(x)0，得1e≤x1，∴f(x)max＝f(1)＝－12.1234567891011121314151612.(2018·丹东质检)已知函数f(x)＝(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；12345678910111213141516－x3＋x2，x1，alnx，x≥1.(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.1234567891011121314151613.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是A.20B.18C.3D.0解析因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点.又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.技能提升练12345678910111213141516√14.(2018·通辽模拟)已知函数f(x)＝aex－2x－2a，且a∈[1,2]，设函数f(x)在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是_______________.[－2，－2ln