2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.3 一元二次不等式及其解法课件 理 新

§7.3一元二次不等式及其解法第七章不等式、推理与证明NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.一元二次不等式的解集知识梳理ZHISHISHULI判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集____________{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集______________有两相等实根x1＝x2＝－b2a{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}xx≠－b2a∅∅2.常用结论(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0_________________________________(x－a)·(x－b)0____________________口诀：大于取两边，小于取中间.{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}{x|axb}∅{x|bxa}提示显然a≠0.ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0；ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0.1.一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c0(a0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.【概念方法微思考】2.一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件是什么？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集.()√√××基础自测JICHUZICE123456√题组二教材改编2.已知集合A＝{x|x2－x－60}，则∁RA等于A.{x|－2x3}B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x－2}∪{x|x3}D.{x|x≤－2}∪{x|x≥3}√1234563.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是_____________________________.123456－∞，1－73∪1＋73，＋∞解析由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，∴3x2－2x－20的解集为－∞，1－73∪1＋73，＋∞.123456题组三易错自纠4.不等式－x2－3x＋40的解集为________.(用区间表示)解析由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0，得－4x1.(－4,1)1234565.若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b＝____.解析∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.－146.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)另a＝2时，原式化为－40，不等式恒成立，∴－2a≤2.故选B.123456解析∵a－20，Δ0，∴－2a2，√2题型分类深度剖析PARTTWO题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1(2019·呼和浩特模拟)已知集合A＝{x|x2－x－20}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于A.(－1,2)B.(－2,1)C.(0,1)D.(0,2)解析由题意得A＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y0}，∴A∩B＝{x|0x2}＝(0,2).故选D.多维探究√命题点2含参不等式解原不等式变为(ax－1)(x－1)0，例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0).因为a0，所以x－1a(x－1)0.所以当a1时，解为1ax1；当0a1时，解为1x1a.当a＝1时，解集为∅；综上，当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a1时，不等式的解集为x1ax1.当a＝1时，不等式的解集为∅；对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类.②根据判别式Δ判断根的个数.③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华跟踪训练1解不等式12x2－axa2(a∈R).解原不等式可化为12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.当m≠0时，则m0，Δ＝m2＋4m0，即－4m0.题型二一元二次不等式恒成立问题例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围.多维探究解当m＝0时，f(x)＝－10恒成立.命题点1在R上的恒成立问题综上，－4m≤0，故m的取值范围是(－4,0].命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围.1.若将“f(x)5－m恒成立”改为“f(x)5－m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，即m≥6x2－x＋1恒成立，又x∈[1,3]，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞).引申探究2.若将“f(x)5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)5－m成立”，如何求m的取值范围？解由题意知f(x)5－m有解，即m6x2－x＋1有解，则m6x2－x＋1max，又x∈[1,3]，得m6，即m的取值范围为(－∞，6).命题点3给定参数范围的恒成立问题解设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则g10，g20，即x2－x－10，2x2－2x－10，例5若mx2－mx－10对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.解得1－32x1＋32，故x的取值范围为1－32，1＋32.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.思维升华跟踪训练2函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；解∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴实数a的取值范围是[－6,2].(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.解令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立.只需h4≥0，h6≥0，即x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞).3课时作业PARTTHREE一、选择题1.已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|(x＋1)(x－5)0}，则A∩B等于A.[－1,4)B.[0,5)C.[1,4]D.[－4，－1)∪[4,5)12345678910111213141516解析由题意得B＝{x|－1x5}，故A∩B＝{x|x≥0}∩{x|－1x5}＝[0,5).故选B.√2.(2018·沈阳二十中联考)若不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为解析∵不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，∴ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a0，A.xx－1或x12B.x－1x12C.{x|－2x1}D.{x|x－2或x1}即－1＋2＝－ba，(－1)×2＝2a，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－10，解得x－1或x12，故选A.√12345678910111213141516A.(－3,0)B.[－3,0]C.[－3,0)D.(－3,0]√123456789101112131415163.若一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为解析由题意可得k0，Δ＝k2－4×2k×－380，解得－3k0.4.若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m0成立，则m的取值范围为A.(13，＋∞)B.(5，＋∞)C.(4，＋∞)D.(－∞，13)解析mx2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m0成立，即mf(x)min，∴m5.故选B.12345678910111213141516√5.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是A.[－4,1]B.[－4,3]C.[1,3]D.[－1,3]√12345678910111213141516解析原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1a≤3，综上可得－4≤a≤3.6.若不等式x2＋ax－20在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是12345678910111213141516A.－235，＋∞B.－235，1C.(1，＋∞)D.－∞，－235解析由Δ＝a2＋80知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－20，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图.√所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)0，解得a－235，故选A.7.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是A.(－3,5)B.(－2,4)C.[－1,3]D.[－2,4]12345678910111213141516解析因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0可化为(x－1)(x－a)0，当a1时，不等式的解集为{x|1xa}，当a1时，不等式的解集为{x|ax1}，当a＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1a≤3或1a≥－1，所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.√8.设a0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为12345678910111213141516