2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.3 等比数列及其前n项和课件 理 新人教

§6.3等比数列及其前n项和第六章数列与数学归纳法NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.等比数列的定义一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.3.等比中项如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项.ZHISHISHULI从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数公比qa1·qn－14.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N＋).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列.(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.qn－mak·al＝am·an5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.6.等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.qn1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？【概念方法微思考】提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.2.任意两个实数都有等比中项吗？提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.3.“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件.因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.()(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.()×××123456(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.()××(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()题组二教材改编2.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝___.12345612解析由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.3.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为A.8B.9C.10D.11解析由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.123456√题组三易错自纠4.若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a1－a2b2的值为____.解析∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q20，∴b2＝2，123456－12∴a1－a2b2＝－a2－a1b2＝－12.解析设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，1234565.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝____.－11∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机____秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝210MB)39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n＝13.即病毒共复制了13次.∴所需时间为13×3＝39(秒).1234562题型分类深度剖析PARTTWO题型一等比数列基本量的运算解析设等比数列{an}的公比为q，自主演练1.(2019·沈阳模拟)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于A.18B.12C.1D.2由题意知a3a5＝4(a4－1)＝a24，则a24－4a4＋4＝0，解得a4＝2，又a1＝14，所以q3＝a4a1＝8，即q＝2，所以a2＝a1q＝12.√2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；解设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N＋).(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.解若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论.思维升华题型二等比数列的判定与证明师生共研例1已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；解因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列.所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.(2)记bn＝an3n，求数列{bn}的前n项和Tn.解由(1)知，bn＝an3n＝3n＋5n3n＝1＋53n，则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋531＋1＋532＋…＋1＋53n＝n＋531－53n1－53＝5n＋12·3n＋n－52.思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若an＋1an＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列；(2)等比中项法：若a2n＋1＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，则数列{an}是等比数列；(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列.跟踪训练1(2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.解由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34，故an＝(3n－1)·2n－2.故an2n是首项为12，公差为34的等差数列.∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，题型三等比数列性质的应用师生共研例2(1)(2018·包头质检)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝18，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)的最小值为A.83B.1C.2D.3√(2)(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于A.－9B.－21C.－25D.－63√解析因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.跟踪训练2(1)等比数列{an}各项均为正数，a3a8＋a4a7＝18，则＋＋…＋＝___.13loga23loga103loga20解析由a3a8＋a4a7＝18，得a4a7＝9所以＋＋…＋13loga23loga103loga5121011033log()logaaaaa==＝(a4a7)5＝＝2log3310＝20.3log53log9解析很明显等比数列的公比q≠1，(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3S6＝89，则an＋1an－an－1＝____(n≥2，且n∈N).－12则由题意可得，S3S6＝a11－q31－qa11－q61－q＝11＋q3＝89，解得q＝12，则an＋1an－an－1＝an－1q2an－1q－an－1＝q2q－1＝1412－1＝－12.关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.高频小考点GAOPINXIAOKAODIAN等差数列与等比数列例1已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则a3＋a6＋a11a1＋a8＋a10的值为A.1314B.1213C.1112D.13√例2已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为A.3n＋1B.3n－1C.3n2＋n2D.3n2－n2√3课时作业PARTTHREE基础保分练1.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为12345678910111213141516A.±2B.2C.±2D.2解析根据等比数列的性质可得a3·a7＝a25＝a21·q8＝q8＝16＝24，所以q2＝2，即q＝±2，故选A.√∴数列{an}的前6项和S6＝3×1－261－2＝189.A.93B.189C.18916D.3782.已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于且2a2＋2＝a1＋1＋a3，解析设数列{an}的公比为q，由题意可知，q1，12345678910111213141516即2×6＋2＝6q＋1＋6q，整理可得2q2－5q＋2＝0，则q＝2q＝12舍去，则a1＝62＝3，√所以3＋r＝83，即r＝－13，故选B.3.(2018·满洲里质检)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为12345678910111213141516A.13B.－13C.19D.－19解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝83·9n－1，√A.－5B.－3C.5D.3123456789101112131415164.已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则S4S2等于解析由题意可得，S4S2＝a1[1－－24]1－－2a1[1－－22]1－－2＝1＋(－2)2＝5.√5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为A.10B.9C.8D.712345678910111213141