2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题（第3课时）

第3课时证明与探索性问题第九章高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一证明问题师生共研例1(2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.OP→·PQ→＝1.圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法.思维升华又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1.跟踪训练1已知椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝63，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；解由题意可知b＝1，ca＝63，即2a2＝3c2，∴椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)求证：PM⊥PN.题型二探索性问题师生共研例2在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；x24(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋a－bx1＋x2x1x2＝ka＋ba.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.思维升华跟踪训练2(2018·鞍山模拟)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点Q1，－22，且离心率e＝22，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程；(2)判断是否存在直线l，满足2OC→＝OM→＋OD→，2OD→＝ON→＋OC→？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.课时作业2PARTTWO基础保分练1234561.(2018·聊城模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；123456(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M(x1，y1)与N(x2，y2)，且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围.2.(2018·宿州检测)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.(1)求椭圆C的标准方程；1234563245123456(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：x＝x0(x02)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足dAdB＝|PA||PB|恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.1234563.(2018·三明质检)已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝x上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(－1,0)对称.(1)求E和Γ的标准方程；12123456(2)过点M的直线l与E交于A，B，与Γ交于C，D，求证：.|CD|2|AB|4.(2018·锦州模拟)已知椭圆(ab0)的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点F1，F2的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；123456x2a2＋y2b2＝1解由题意，2a＝4,2a＋2b＝6，∴a＝2，b＝1.∴椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)若直线AB：y＝x＋m与椭圆交于A，B两点，C，D在椭圆上，且C，D两点关于直线AB对称，问：是否存在实数m，使|AB|＝|CD|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.1234562123456技能提升练5.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点.(1)求直线ON的斜率kON；123456(2)求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在θ∈[0,2π)，使得OM→＝cosθOA→＋sinθOB→成立.1234566.如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率是32，点P(0，1)在短轴CD上，且PC→·PD→＝－1.(1)求椭圆E的方程；拓展冲刺练123456(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得OA→·OB→＋λPA→·PB→为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.