2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.8 函数与方程课件 理 新人教A版

§2.8函数与方程第二章函数概念与基本初等函数ⅠNEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.函数的零点一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即，则α叫做这个函数的零点.2.零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为.知识梳理ZHISHISHULIf(α)＝0函数值异号f(a)f(b)0变号零点3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点__________________无交点零点个数_________(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210【概念方法微思考】函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x).()基础自测JICHUZICE123456×√√×题组二教材改编1234562.函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是A.(1,2)B.(2,3)C.和(3,4)D.(4，＋∞)解析∵f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln3－0且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内.2x√1e，1233.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是A.0B.1C.2D.3解析由f′(x)＝ex＋30，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点.1234561e√4.函数f(x)＝ln2x－3lnx＋2的零点是A.(e,0)或(e2,0)B.(1,0)或(e2,0)C.(e2,0)D.e或e2123456解析f(x)＝ln2x－3lnx＋2＝(lnx－1)(lnx－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2.题组三易错自纠√1234565.已知函数f(x)＝x－(x0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则A.x1x2x3B.x2x1x3C.x2x3x1D.x3x1x2x解析作出y＝x与y＝(x0)，y＝－ex，y＝－lnx(x0)的图象，如图所示，可知选C.x√1234566.若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.解析m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8m≤1.(－8,1]2题型分类深度剖析PARTTWO题型一函数零点所在区间的判定自主演练解析函数f(x)＝lnx－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续.因为f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln3－10，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3).1.函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间是A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)2x－12x－1√2.若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内解析∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.√3.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a≠1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝______.解析对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y1，当x＝3时，可得y1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.2判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解.思维升华题型二函数零点个数的判断师生共研解析当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x0时，f′(x)＝2＋0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.例1(1)函数f(x)＝的零点个数是______.x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0221x(2)(2018·呼伦贝尔模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为A.0B.1C.2D.3√解析由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x0)，y＝lnx(x0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(3)函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点√所以f′(x)0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－10，f(1)＝1－cos10，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点.x解析当x∈(0,1]时，因为f′(x)＝12x＋sinx，x0，sinx0，当x1时，f(x)＝x－cosx0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.思维升华跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≤0，|lgx|，x0，则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为解析g(x)＝f(1－x)－1＝1－x2＋21－x－1，1－x≤0，|lg1－x|－1，1－x0易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.A.1B.2C.3D.4＝x2－4x＋2，x≥1，|lg1－x|－1，x1，√(2)函数f(x)＝4cos2x2·cosπ2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为______.2解析f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin2x(x－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x－1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点.题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数多维探究例2(1)(2018·大连模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是12，3A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.2，52D.2，103√解析由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有实数解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.所以实数a的取值范围是2，103.(2)已知函数若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是_________.解析关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0).21211log1xxfxxx－，＜，＝，≥，(－1,0)例3若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_________.命题点2根据函数零点的范围求参数14，12解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足m≠2，f－1·f00，f1·f20，即m≠2，m－2－m＋2m＋12m＋10，m－2＋m＋2m＋1[4m－2＋2m＋2m＋1]0，解得14m12.根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.思维升华跟踪训练2(1)方程有解，则a的最小值为______.112log(2)2xax－＝＋解析若方程有解，12log(2)2xax－＝＋则122＋x＝a－2x有解，即1412x＋2x＝a有解，因为1412x＋2x≥1，故a的最小值为1.(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________.当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14≥－14，则－14m≤0，即实数m的取值范围是－14，0.－14，0解析作出函数f(x)的图象如图所示.2x－1，x0，x2＋x，x≤0，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决.思想方法SIXIANGFANGFA利用转化思想求解函数零点问题例(1)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a0且a≠1)的两个零点是m，n，则A.mn＝1B.mn1C.0mn1D.以上都不对解析由题设可得|logax|＝12x，不妨设a1，mn，画出函数y＝|logax|，y＝12x的图象如图所示，结合图象可知0m1，n1，且－logam＝12m，logan＝12n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝12n－12m0，所以0mn1，故选C.√(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是A.[－1,0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)ex，x≤0，lnx，x0，√解析由方程，解得a＝－22x＋12x＋1，设t＝2x(t0)，(3)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为_______________.(－∞，2－22]则a＝－t2＋1t＋1＝－t＋2t＋1－1＝2－t＋1＋2t＋