2019秋九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.2 平行线分线段成比例课件 （新版）北师大版

第四章图形的相似初中数学（北师大版）九年级上册知识点一平行线分线段成比例定理内容两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例基本图形  符号表示如图所示,直线a∥b∥c,分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F,那么 = , = , = ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF例1如图4-2-1,l1∥l2∥l3,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16.求DM、EK、FK的长. 图4-2-1解析∵l1∥l2∥l3,∴ = = .∵AM=3,BM=5,CM=4.5,∴DM= =7.5,∴ = ,∵EF=16,∴EK=6,FK=10.方法归纳应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中,四条线段与两条直线的交点位置无关,关键是线段的对应,可简记为:“ = , = , = ”或“ = = ”.CMDMAMBMEKFKCMBMAMEKFK35上下上下上全上全下全下全上上下下全全知识点二平行线分线段成比例定理的推论内容平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例基本图形 符号表示在△ABC中,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,那么 = , = , = ADBDAECEADABAEACBDABCEAC例2已知:如图4-2-2,DE∥BC,AD=3.6,DB=2.4,AC=7.求EC的长.图4-2-2分析根据图形中线段间的和差关系求得线段AB的长度,然后根据“平行线分线段成比例定理的推论”和比例的性质来求线段EC的长度.解析∵AD=3.6,DB=2.4,∴AB=AD+DB=6.又∵DE∥BC,∴ = ,即 = ,∴EC=2.8,即EC的长是2.8.DBABECAC2.467EC题型一利用平行线分线段成比例定理求线段的长例1如图4-2-3,直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C,交直线l5于点D、E、F,且l1∥l2∥l3,已知EF∶DF=5∶8,AC=24.求AB的长. 图4-2-3解析∵l1∥l2∥l3,EF∶DF=5∶8,∴ = = ,∵AC=24,∴ = ,∴BC=15,∴AB=AC-BC=24-15=9.点拨能够熟练地运用平行线分线段成比例定理建立比例式,然后通过比例式求线段的长.EFDFBCAC5824BC58题型二巧用中间比进行证明例2如图4-2-4,在△ABC中,EF∥CD,DE∥BC.求证:AF∶FD=AD∶DB. 图4-2-4分析根据平行线分线段成比例定理的推论得出 = , = ,推出 = 即可.证明∵EF∥CD,∴ = .∵DE∥BC,∴ = ,∴ = ,即AF∶FD=AD∶DB.点拨在多组平行线中,找出有连接作用的对应成比例的线段,即中间比,可起桥梁作用.AFFDAEECADDBAEECAFFDADDBAFFDAEECADDBAEECAFFDADDB知识点一平行线分线段成比例定理1.(2019黑龙江哈尔滨南岗期末)如图4-2-1,AB∥CD∥EF,AF、BE交于点G,下列比例式错误的是 () 图4-2-1A. = B. = C. = D. = ADDFBCCEAGGDBGCGGCGECDEFABEFAGGE答案DA.由AB∥CD∥EF,得 = ,所以A选项正确;B.由AB∥CD,得 = ,所以B选项正确;C.由CD∥EF,得 = ,所以C选项正确;D.由AB∥CD∥EF,得 = ,所以D选项错误.故选D.ADDFBCCEAGGDBGCGGCGECDEFABEFAGGF3.已知:如图4-2-3,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长. 图4-2-3解析∵l1∥l2∥l3,∴AB∶BC=DE∶EF,∵AB=3,BC=5,DF=12,∴3∶5=DE∶(12-DE),解得DE=4.5,∴EF=12-4.5=7.5.知识点二平行线分线段成比例定理的推论4.(2019北京房山期中)如图4-2-4,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE∥BC,AD=1,BD=2,那么 的值为() 图4-2-4A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3AEAC5.(2018湖南永州冷水滩期末)如图4-2-5,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=1∶2,CF=6,那么BF等于 () 图4-2-5A.1B.2C.3D.4答案C∵DE∥BC,∴AE∶EC=AD∶DB=1∶2,∵EF∥AB,∴BF∶FC=AE∶EC=1∶2,∵CF=6,∴BF=3,故选C.1.(2015江苏淮安中考)如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F.若 = ,DE=4,则EF的长是 () A. B. C.6D.10ABBC23832032.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于 () A.5∶8B.3∶8C.3∶5D.2∶5答案A∵DE∥BC,∴AE∶EC=AD∶DB=3∶5.∵EF∥AB,∴BF∶FC=AE∶EC=3∶5,故CF∶CB=5∶8.3.如图,在△AMC中,已知BD∥CM,AC+AB=14,且 = ,求AB的长. AMAD43解析∵BD∥CM,∴ = = .∵AC+AB=14,∴AC= ×14=8,AB= ×14=6,∴AB的长为6.ACABAMAD4347374.如图,在△ABC中,AM是BC边上的中线,直线DN∥AM,交AB于点D,交CA的延长线于点E,交BC于点N.求证: = . ADABAEAC1.如图4-2-6所示,已知在△ABC中,DE∥AC,DF∥AB,下列各式中错误的是 () 图4-2-6A. = B. = C. = D. = BDDCBEEABDBCAFACBEEAAFFCDFBADECA答案D∵DE∥AC,∴ = ,∵DF∥AB,∴ = , = , = .∴ = ,故A,B,C正确,D错误,选D.BDDCBEEABDCDAFCFBDBCAFACDFBAFCCABEEAAFFC2.如图4-2-7,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E在AC边上,且AE∶EC=1∶2,BE交AD于P,则AP∶PD等于 () 图4-2-7A.1∶1B.1∶2C.2∶3D.4∶3答案A如图,过点D作DF∥BE,交AC于F,∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴EF=CF,∵AE∶EC=1∶2,∴AE=EF=FC,∴AE∶EF=1∶1,又DF∥PE,∴AP∶PD=AE∶EF=1∶1.故选A. 3.已知:点D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC.求证:AD∶AB=AE∶AC=DE∶BC.证明由题意画出图形,如图,过点D作DF∥AC交BC于点F.∵DE∥BC,∴ = .∵DF∥AC,∴ = ,∴ = = .又∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE是平行四边形,∴DE=CF,ADABAEACADABCFBCADABAEACCFBC∴ = = ,即AD∶AB=AE∶AC=DE∶BC.ADABAEACDEBC1.如图,已知BN∥AM,ND∥MC,那么 () A. = B. = C. = D.以上都不对PDDAPNNMPAPBPCPDPAABNDMC2.如图,在△ABC中,D为AC上一点,E为CB延长线上一点,且 = .求证:AD=EB. ACBCEFFD∵DG∥AB,∴ = , = .∴ = ,∵ = ,∴ = = ,∴AD=EB.ADACBGBCEBBGEFFDADBGACBCACBCEFFDADBGEFFDEBBG证明如图,过点D作DG∥AB交BC于G.3.如图,在△ABC中,D,E分别是BC和AC上的点,连接DE并延长与BA的延长线交于点F,且BD=DC.求证: = . AEECFAFBAEECMDDCFAFBDMBDAEECFAFB证明过点A作AM∥DF交BD于M,则 = , = .又BD=DC,∴ = .4.已知:如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D,过点B作BE∥CD交AC的延长线于点E.求证:(1)BC=CE;(2) = .ADBDACBC∴∠CBE=∠CEB.∴BC=CE.(2)∵BE∥CD,∴ = .由(1)知BC=CE,∴ = .ADBDACCEADBDACBC证明(1)∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.又BE∥CD,∴∠CBE=∠BCD,∠CEB=∠ACD.5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,点M为AD的中点,CM的延长线交AB于K.求证:AB=3AK. 证明证法一:如图①,过点B作BG∥KM交AD的延长线于G,则 = , = .∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴MD=GD.∵M为AD的中点,∴AM=MD,∴AG=AD+GD=3AM,ABAKAGAMMDGDCDBD∴ = ,∴AB=3AK.ABAK3AMAM证法二:如图②,过点D作DE∥CK交AB于E,则 = , = ,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴BE=KE.又AM=MD,∴AK=KE,∴AK=KE=EB,∴AB=3AK. BDCDBEEKAKKEAMMD证法三:如图③,过点A作AR∥CK交BC的延长线于R,则 = .∵AM=MD,∴CR=CD.又AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴BR=3CR,又KC∥AR,∴ = = ,∴AB=3AK.CRRBAKAB13AMMDCRCD1.(2019山东济南历下期中,5,★★☆)如图4-2-8,l1∥l2∥l3,若 = ,DF=10,则DE= ()图4-2-8A.4B.6C.8D.9ABBC32一、选择题答案B∵l1∥l2∥l3,∴ = = ,又∵DF=10,∴DE= DF=6,故选B.ABBCDEEF32352.(2018安徽亳州蒙城一模,8,★★☆)如图4-2-9,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,AE= AD,BE的延长线交AC于F,则 的值为 () 图4-2-9A. B. C. D. 14AFAC14151617答案D过点D作DH∥BF交AC于H,如图,则 = .FHHCBDDC∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC,∴FH=HC,∵DH∥BF,AE= AD,14∴ = = ,∴AF∶FC=1∶6,∴ = .故选D.AFFHAEED13AFAC17二、填空题3.(2019山西实验中学月考,15,★★★)如图4-2-10,△ABC中,D在BC上,F是AD的中点,连CF并延长交AB于E,已知 = ,则 等于. 图4-2-10CDBD32AEBE答案 35解析过点D作DG∥CE,交AB于点G,如图,则 = = ,设BG=2x,则GE=3x,∵EF∥DG,∴ = =1,∴AE=EG=3x,BGGEBDDC23AEEGAFFD∴ = = .AEBE332xxx35三、解答题4.(2019上海浦东新区第一教育署期中,22,★★☆)如图4-2-11,在平行四边形ABCD中,点E为边BC上一点,连接AE并延长交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点F, = .(1)若BD=20,求BG的长;(2)求 的值. 图4-2-11DFFC32CMCD解析(1)∵GF∥BC,∴ = ,∵BD=20, = ,∴BG=8.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴ = ,∴ = ,∴ = ,∴ = .DFFCDGBGDFFC32DMABDGGBDMAB32DMCD32CMCD125.(2019上海松江期中,23,★★☆)如图4-2-12,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA和CD的延长线交于P,AC和BD交于点O,连接PO并延长,分别交AD、BC于M、N.求证:AM=DM. 图4-2-12AMNCAOCOAOOCADBCPDPCMDNCAMNCMDNC证明∵AD∥BC,∴ = ,∵AD∥BC,∴ = = = ,∴ = ,∴AM=MD.1.(2017浙江杭州期中,4,★☆☆)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和直线DF与l1,l2,l3的交点分别为A,B,C,D,E