2019秋九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.1 成比例线段课件 （新版）北师大版

第四章图形的相似初中数学（北师大版）九年级上册第四章图形的相似知识点一线段的比及成比例线段1.线段的比内容概念如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成 = .其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 表示成比值k,那么 =k,或AB=k·CD详解(1)确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一.(2)因为每条线段的长度都是正值,所以两条线段的比值也是正数,且结果没有单位链接比例尺:在地图或工程图纸上,图上长度与实际长度的比通常称为比例尺ABCDmnmnABCD2.成比例线段定义四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 = ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段其他概念在 = 中,a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项.若 = ,则b叫做a,c的比例中项要求四条线段a,b,c,d成比例,只能记作 = 或a∶b=c∶d,不能写成其他形式,也就是说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按顺序写出abcdabcdabbcabcd例1判断下列各组线段是否成比例.(1)a=3cm,b=5cm,c=7cm,d=4cm;(2)a=3cm,b=20m,c=6cm,d=10m.分析当四条线段的长度单位不相同时,先统一单位,再把它们按从小到大(或从大到小)的顺序排列,然后依次计算前两个数的比与后两个数的比,看这两个比值是否相等即可.解析(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,4,5,7, = , = ,且 ≠ ,∴ ≠ .∴这四条线段不成比例.(2)a=3cm,b=20m=2000cm,c=6cm,d=10m=1000cm.∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,6,1000,2000,∴ = = , = = ,∴ = ,∴这四条线段成比例.方法归纳解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计算;④做出判断.ad34bc573457adbcac3612db1000200012acdb知识点二比例的性质名称内容比例的基本性质如果 = ,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么 = 等式的基本性质(1) = ⇔ = (b,c,d不为0), = ⇔ = (a,b,d不为0);(2) = ⇔ = (a,b,c,d不为0)合比性质如果 = ,那么 = (b,d不为0)等比性质如果 = = =…= (b+d+f+…+n≠0),那么 = abcdabcdabcdacbdabcddbcaabcdbadcabcdabbcddabcdefmnacembdfnab例2(1)根据下列各题的条件求a∶b的值.①2a=3b;② = ;③ = .(2)已知 = = ,且a,b,c都是正数,求 的值.aba1223abb532a3b4c322abcab解析(1)①由2a=3b,得 = ,所以a∶b=3∶2.②由 = ,得2(a-b)=a,即2a-2b=a,从而a=2b,所以a∶b=2∶1.③由 = ,得3(a+2b)=15b,得3a+6b=15b,从而3a=9b,所以a∶b=3∶1.(2)设 = = =k(k0),那么a=2k,b=3k,c=4k,所以 == = .方法归纳通过比例的基本性质来改变比例的形式得出所求的比,也可以通过设辅助元来计算比例式的值.ab32aba1223abb532a3b4c322abcab23324223kkkkk37kk37题型一利用比例线段求线段的长例1已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2cm,b=0.6cm,c=4cm,那么d=cm.解析因为a,b,c,d是成比例线段,所以 = ,则d= = =1.2(cm).abcdbca0.642答案1.2规律总结比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题,一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.例2已知三条线段的长分别为1cm, cm,2cm,请你再添加一条线段,使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.2分析因为本题中没有明确告知是求1, ,2的第四比例项,所以所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项,也可能不是,因此应进行分类讨论.2题型二与比例线段有关的开放题解析设所添加的线段的长为xcm.若x∶1= ∶2,则x= ;若1∶x= ∶2,则x= ;若1∶ =x∶2,则x= ;若1∶ =2∶x,则x=2 .综上所述,所添加的线段的长有三种可能,可以是 cm, cm或2 cm.规律总结本题运用了分类讨论思想.当题目中给出的数没有顺序时,要依据所求的数在这个比例式中的位置进行讨论.若使四个数成比例,则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比,或其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.2222222222222知识点一线段的比及成比例线段1.(2019福建泉州南安期中)下列四条线段中,不能成比例的是()A.a=4,b=8,c=5,d=10B.a=2,b=2 ,c= ,d=5C.a=1,b=2,c=3,d=4D.a=1,b=2,c=2,d=455答案C根据比例线段的概念,让最小的线段和最大的线段相乘,另外两条线段相乘,看它们的积是否相等,即可得出答案.A.4×10=5×8,能成比例;B.2×5=2 × ,能成比例;C.1×4≠2×3,不能成比例;D.1×4=2×2,能成比例.故选C.552.(2019广西桂林灌阳期中)已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=5,b=4,c=10,则线段d=.答案8解析∵a,b,c,d是成比例线段,∴ = ,即ad=bc,∵a=5,b=4,c=10,∴5d=40,解得d=8.abcd3.(2019天津南开期末)在比例尺为1∶1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为千米.答案26解析根据比例尺=图上距离∶实际距离,得甲、乙两地的实际距离为2.6×1000000=2600000(cm)=26(千米).知识点二比例的性质4.(2018浙江温州期末)已知 = ,则 的值为 ()A. B. C. D. ab23aba52533223答案A∵ = ,∴b= ,∴ = .ab2332aaba525.(2019北京西城期中)已知 = ,则 =.4x7yxyy答案- 37解析∵ = ,∴ = ,则 =- .4x7yxy47xyy371.在比例尺为1∶38000的交通旅游图上,南京玄武湖隧道长7cm,则它的实际长度是 ()A.26.6kmB.2.66kmC.0.266kmD.266km答案B设它的实际长度为xcm,由题意,得 = ,解得x=266000.因为266000cm=2.66km,所以它的实际长度为2.66km.故选B.1380007x2.延长线段AB到C,使得BC= AB,则AC∶AB= ()A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶312答案C因为BC= AB,所以 = ,所以 = .12BCAB12ACAB323.正方形的边长与其对角线长的比是.答案1∶ 2解析设正方形的边长为a,则其对角线长为 a,∴所求比为a∶ a=1∶ .2224.已知x∶y∶z=2∶3∶4,求 的值.yzxzxy解析∵x∶y∶z=2∶3∶4,∴设x=2k,y=3k,z=4k(k≠0),∴ = = = .yzxzxy342423kkkkkk53kk531.如果四条线段的长度3,x,5,y满足 = ,那么下列各式中不成立的是 ()A. = B. = C. = D. = 3x5yxy353xx5yyxy5333x55y答案C设 = = (k0),则x=3k,y=5k,故 = = ,A选项成立; = +1, = +1,∵ = ,∴ = ,B选项成立; = -1, = -1,∵ = ,∴ = ,∴ -1= -1,D选项成立.故选C.3x5y1kxy35kk353xx3x5yy5y3x5y3xx5yy33x3x55y5y3x5y3x5y3x5y2.已知三个数2, ,4,如果再添加一个数,使这四个数成比例,则添加的数是 ()A.2 B.2 或 C.2 ,4 或8 D.2 , 或4 222222222222答案D设添加的这个数是x,当2∶ =4∶x时,2x=4 ,解得x=2 ;当2∶4= ∶x时,2x=4 ,解得x=2 ;当2∶4=x∶ 时,4x=2 ,解得x= ;当2∶ =x∶4时, x=8,解得x=4 .故选D.22222222222223.(2019山东济南长清五中月考)若 = = ,则 =.3x4y5z232xyzxyz答案 256解析设 = = =k(k≠0),则x=3k,y=4k,z=5k,所以 = = .3x4y5z232xyzxyz6415385kkkkkk2564.若 = ,求 的值.2mnn13mn解析解法一:∵ = ,∴ = ,∴ = ,∴ = .解法二:∵ = ,∴3(2m-n)=n,∴6m-3n=n,∴6m=4n,∴ = = .2mnn132mnnn1332mn43mn232mnn13mn46235.已知:在△ABC和△A'B'C'中, = = = ,且△A'B'C'的周长为80cm,求△ABC的周长.''ABAB''BCBC''ACAC23解析因为A'B'+B'C'+A'C'≠0,所以根据等比性质,得 = ,即 = ,∴C△ABC= cm.''''''ABBCACABBCAC2380ABCC2316031.已知a,b,c为正数,且满足 = = =k,试判断点(-6,-3)是否在正比例函数y=kx的图象上.abcbcacab解析因为a,b,c为正数,所以a+b+c≠0.又因为 = = =k,所以k= = ,所以正比例函数的关系式为y= x,当x=-6时,y= ×(-6)=-3,所以点(-6,-3)在正比例函数y= x的图象上.abcbcacab2()abcabc121212122.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=-2∶7∶1,试判断△ABC的形状.解析令a-c=-2k(k≠0),由题意得 解得 显然有a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.7,,abkcbk3,4,5.akbkck一、选择题1.(2019河北保定安国期中,3,★★☆)已知3x-5y=0,则 的值为 ()A. B. C. D. xyy23533532答案A∵3x-5y=0,∴ = ,∴ = -1= -1= .故选A.xy53xyyxy53232.(2019山东济南长清五中月考,7,★★☆)已知 = ,则在① = ,② = ,③ = ,④ = ,这四个式子中正确的个数是 ()A.1B.2C.3D.4xy35xyxy142xyyx352xxy313xyx83答案B∵ = ,∴y= x.∴① = =- ,② = = ,③ = = ,④ = = ,故选B.xy3553xyxy5353xxxx142xyyx53523xxxx8112xxy103xxx313xyx53xxx833.(2017甘肃兰州模拟,2,★★☆)已知 = = = ,若a+c+e=6,则b+d+f= ()A.12B.9C.6D.4abcdef23答案B由 = = = 得a= b,c= d,e= f,则 b+ d+ f=6,即 (b+d+f)=6,∴b+d+f=6× =9.故选B.abcdef232323232323232332二、填空题4.(2019四川成都西蜀实验学校月考,22,★★☆)若 = ≠0,则=.3a2b32abab答案1解析∵ = ≠0,∴a= b,∴ = = =1.3a2b3232