2019秋九年级数学上册 第3章 概率的进一步认识 3.2 用频率估计概率课件 （新版）北师大版

第三章概率的进一步认识初中数学（北师大版）九年级上册知识点一用频率估计概率用频率估计概率一般地,在大量重复试验下,随机事件A发生的频率 (这里n是总试验次数,它必须相当大,m是在n次试验中随机事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是,我们用p这个常数表示随机事件A发生的概率,即P(A)=p知识详解(1)当试验的所有可能结果不是有限个,或结果的个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相同时,很难用列表法或画树状图法求该随机事件的概率;(2)在随机现象中,一个随机事件发生与否,事先无法预料.表面上看似乎无规律可循,但当我们做大量重复试验时,这个事件发生的频率呈现稳定性,这个呈现稳定性的频率就反映了该随机事件的规律温馨提示(1)用频率估计概率的大小时,试验一定要在相同的条件下进行,试验的次数越多,得到的频率就越稳定,规律就越明显,此时可以用频率稳定值估计事件发生的概率;(2)当试验的所有可能结果不是有限个,或结果的个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相同时,一般通过频率来估计概率mn例1一粒木质的中国象棋棋子“兵”,它的正面雕刻着一个“兵”字,它的反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某试验小组做了棋子下掷试验,试验数据如下表:试验次数20406080100120140160“兵”字面朝上的频数14384752667888相应频率0.700.450.630.590.520.560.55(1)请将表中数据补充完整;(2)在图3-2-1中画出“兵”字面朝上的频率分布折线图;图3-2-1(3)如果试验继续进行下去,根据上表中的数据,这个试验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少.解析(1)40×0.45=18,66÷120=0.55,故填18;0.55.(2)画折线图如图3-2-2所示. 图3-2-2(3)根据表中数据知,试验频率分别为0.70,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.56,0.55,稳定在0.55左右,故估计这个概率为0.55.点拨当试验次数很大时,试验的频率就会趋于稳定,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.知识点二模拟试验估算事件的概率模拟试验在用试验法求某些事件发生的概率时,往往受试验条件的限制,试验很难做或所做的结果误差较大或试验次数太多,因而完成起来较困难.这时,我们可以采用模拟试验的方法估计事件发生的概率模拟试验的两种方法用替代物模拟试验用替代物模拟试验时,要注意:替代物与被替代物的形状、大小、质地可以差别很大,但是作为试验时考察的试验对象,其出现的频率应该是相同的,这样用替代物时才不会影响试验的结果用计算器产生随机数来模拟试验(1)有时候我们很难找到合适的替代物模拟试验,或者用替代物比较麻烦,这时我们可以用计算器产生符合条件的随机数,这种试验的方法称为计算器模拟试验.设计模拟试验时有n种可能,就要用计算器产生1~n的随机数,调查n个人就需一次取n个数作为一次试验.(2)用计算器产生随机数的步骤:进入随机数的状态→输入所产生的随机数的范围→按键得出随机数.不同的计算器产生随机数的具体步骤可能不同注意1.用模拟试验代替实际调查既省时又省力,但必须设计出合乎要求的方案.通常有以下两种比较常见的模拟试验:(1)摸球试验;(2)用计算器产生随机数.2.模拟试验的多样性:同一试验有各种各样的替代物,这样会给试验带来很多方便.如在抛掷一枚硬币的试验中,如果手边恰好没有硬币,可以用一张红桃扑克牌和一张黑桃扑克牌为替代物,还可以用黄、白两个乒乓球为替代物,也可以用黑、白两粒围棋子为替代物来进行模拟试验.3.模拟试验的原则:替代试验必须在同等条件下进行.4.用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数,当试验次数很大时,结果将会较为精确.5.摸球试验中应记住每次摸出球后必须放回.6.不是所有试验都能找到替代物.例2假设某省12个地区购买该省发行的第188期某彩票的人数相等,请设计一个方案,估计5名一等奖中奖彩民中有两名或两名以上来自同一地区的概率.分析解决此问题,若直接对这12个地区的彩民进行随机调查,试验难度大而且不现实,应考虑模拟试验,例如用一个均匀的正十二面体代替十二个地区,连续随机抛掷5次作为一次试验.解析准备一个均匀的正十二面体,在其各面上分别标上1~12,这12个数字分别代表12个地区.抛正十二面体,记下着地的面上的数字,再抛,再记录,连续抛5次作为一次试验,记录是否有两次或两次以上的数字相同,重复多次这样的试验,利用试验的频率估计概率.点拨在设计模拟试验时,应注意按照如下步骤进行:(1)选择合适的试验工具;(2)进行试验,并做好记录,叙述时一定要注意事件发生的等可能性;(3)计算、写出结论,叙述清楚“一次试验”的含义,估算出事件发生的概率.题型一用频率估计袋中球的数目例1一个不透明的口袋中有10个白球和若干个黑球,它们除颜色外完全相同,如果不允许将球倒出来数,如何估计其中的黑球数呢?两位同学是如下操作的:小芳:从口袋中随机摸出一球,记下颜色,再把它放回口袋中,不断重复上述过程,她共摸了100次,其中有81次摸到黑球.小明:利用抽样调查的方法,从口袋中一次摸出10个球,求出其中白球数与10的比值.再把球放回口袋中,不断重复上述过程,他总共摸了10次,白球数与10的比值如下:次数12345每次摸球白球数与10的比值0.20.30.20.10.4次数678910每次摸球白球数与10的比值0.10.30.20.10.2问:(1)小芳估计袋中黑球有多少个?(2)小明估计袋中黑球有多少个?(3)两位同学操作时,每次摸球后都要放回,如果不放回行吗?为什么?分析假设口袋中有x个黑球,则从口袋中随机摸出1球,是黑球的概率为 ,是白球的概率为 .小芳摸了100次,其中有81次摸到黑球,则我们可以估计从口袋中随机摸出一球,这个球是黑球的概率为 ,从而可列方程 = ,即可求出黑球的个数;通过对小明收集的数据进行分析,可以得出白球的频率约为0.21,即可以估计出现白球的概率为0.21,从而可列方程 =0.21,即可求出黑球的个数.10xx1010x8110010xx811001010x解析(1)设口袋中有x个黑球,根据摸出一个球是黑球的概率可得方程 = ,解得x≈43.所以小芳估计袋中有43个黑球.(2)样本中白球出现的频率的平均数为 =0.21,从而可以估计白球出现的概率为0.21,则可列方程 =0.21,解得x≈38.所以小明估计袋中有38个黑球.(3)不行.如果不放回,则求出来的概率就不是摸出一球是黑球或白球的概率.10xx811000.20.30.20.10.40.10.30.20.10.2101010x点拨本题的解题关键是根据摸到黑球或白球的概率来寻找等量关系建立方程.题型二利用计算器模拟试验估计复杂事件的概率例2课外活动时,王老师把自己的一串钥匙交给李强,让他去取一本书,但李强不小心把王老师告诉他开办公桌的那把钥匙的特征忘记了.已知这串钥匙共有8把,请你用计算器模拟试验的方法估测一下,他一次试开成功的机会有多大.(只需写出用计算器模拟试验的方法)解析(1)把8把钥匙编号,依次为1,2,3,4,5,6,7,8.假设开办公桌的钥匙的编号为1.(2)利用计算器在1~8之间产生一个随机数,如果这个随机数是1,就会试开成功,否则就不成功.第一步:利用计算器在1~8之间产生随机数.第二步:将数据填入统计表中.第三步:根据频率估计一次试开成功的机会值.点拨利用计算器产生随机数时,关键在于确定所需要的数的范围.利用古典概型感受随机现象核心素养全解思维开放全面发展素养呈现数据分析是指针对研究对象获取数据,运用数学方法对数据进行整理、分析和推断,形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,进行推断,获得结论.数据分析是研究随机现象的重要数学技术,是大数据时代数学应用的主要方法,也是“互联网+”相关领域的主要数学方法,数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面.概率研究的对象是随机现象,其核心是通过对数据进行分析,发现数据中蕴含的信息,从中发现规律.典例剖析例(2018辽宁本溪中考)某校在宣传“民族团结”活动中,采用四种宣传形式:A.器乐,B.舞蹈,C.朗诵,D.唱歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的,学校就宣传形式对学生进行了抽样调查,并将调查结果绘制成如图3-2-3所示的两幅不完整的统计图. 图3-2-3请结合图中所给信息,解答下列问题:(1)本次调查的学生共有人;(2)补全条形统计图;(3)该校共有1200名学生,请估计选择“唱歌”的学生有多少人;(4)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中,有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀,现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队,请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.解析(1)本次调查的学生共有30÷30%=100(人),故答案为100.(2)喜欢B类项目的人数为100-30-10-40=20,补图如图3-2-4所示: 图3-2-4(3)选择“唱歌”的学生约有1200× =480(人).40100(4)根据题意画树状图,如图3-2-5所示. 图3-2-5共有12种等可能的情况,被选取的两人恰好是甲和乙的情况有2种,则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是 = .21216素养呈现简单随机现象的概率通常分为古典概型与几何概型,古典概型的计算公式:P(A)= ,几何概型的计算公式:P(A)= .可通过画树状图或列表列出随机现象所有等可能的结果,当一次试验要涉及3个因素或更多时,一般用树状图,当一次试验要涉及2个因素且等可能出现的结果数比较多时,一般用列表法.用列表法求概率的注意点:(1)两个因素:一个作为列,一个作为行.(2)列出所有结果时要特别注意对角线上的结果是否符合要求.mnASS总知识点一用频率估计概率1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ()A.频率等于概率B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近D.试验得到的频率与概率不可能相等答案B事件发生的频率是变化的,只能用频率估计概率,故A不正确;当进行大量重复试验时,事件发生的频率会稳定在概率附近,故B正确,C不正确;试验得到的频率可能与概率相等,故D不正确.故选B.知识点二模拟试验估算事件的概率2.在“抛一枚均匀硬币”的试验中,如果手边现在没有硬币,则下面各个试验中不能代替的是 ()A.从两张扑克中抽一张,“黑桃”代替“正面”,“红桃”代替“反面”B.从形状、大小完全相同,但颜色为一红一白的两个乒乓球中摸一个C.扔一枚图钉D.人数均等的男生、女生,以抽签的方式随机抽取一人答案C在“抛一枚均匀硬币”的试验中,出现正面和反面的可能性相同,因此所选的替代物的试验结果只能有两种,且出现的可能性相同,因此A、B、D都符合要求.故选C.3.某抽签活动设置了如图3-2-1所示的翻奖牌,每次抽奖翻开一个数字,考虑“中奖”的可能性有多大.正面123456789反面轿车一辆万事如意奖金100元心想事成奖金100元洗衣粉一袋奖金10元生活愉快奖金2万元图3-2-1(1)如果用试验进行估计但又觉得制作翻奖牌太麻烦,能否用简便的模拟试验来代替?(2)估计“未中奖”的可能性有多大,“中奖”的可能性有多大.你能探索出它们之间的关系吗?解析(1)可以用模拟试验的方法,用9张扑克牌(一副牌中的1~9)代替翻奖牌,规定其中1~3号牌代表未中奖,4~9号牌代表中奖.(2)“未中奖”的可能性为 ,“中奖”的可能性为 ,它们之间的关系是未中奖的可能性+中奖的可能性=1.13231.为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大,小明做了大量重复试验,发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%,下列说法错误的是 ()A.钉尖着地的频率是0.4B.随着试验次数的增加,钉尖