2019秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程课件 （新版）北师大

第二章一元二次方程初中数学（北师大版）九年级上册知识点一用公式法求解一元二次方程求根公式一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x= ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式公式法把一元二次方程的各系数代入求根公式,直接求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做公式法步骤(1)把方程化为一般形式;(2)确定a、b、c的值;(3)计算b2-4ac的值;(4)当b2-4ac≥0时,把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式,求得方程的根;当b2-4ac0时,方程没有实数根2bb42aac例1用公式法解下列方程:(1)(3x+2)(x+3)=x+14;(2)5x2+1=-7x.解析(1)(3x+2)(x+3)=x+14可化为3x2+10x-8=0.这里a=3,b=10,c=-8.∵b2-4ac=102-4×3×(-8)=1960,∴x= = ,即x1= ,x2=-4.(2)5x2+1=-7x可化为5x2+7x+1=0,这里a=5,b=7,c=1.∵b2-4ac=72-4×5×1=290,∴x= ,即x1= ,x2= .温馨提示用公式法解一元二次方程时,要注意两点:(1)一定要把方程化为一般形式;(2)一定要计算b2-4ac的值,且b2-4ac的值大于或等于0时,101962357323729257291072910才能代入求根公式求解.根的判别式一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac根的情况与判别式的关系Δ0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,即x= Δ=0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,即x1=x2=- Δ0方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根重点解读(1)应用根的判别式时,要将一元二次方程化为一般形式,并准确确定a、b、c的值;(2)一元二次方程有实数根包含两种情形:方程有两个相等的实数根和方程有两个不相等的实数根;(3)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当a、c异号时,方程一定有两个不相等的实数根;当c=0时,方程一定有一个根为02bb42aacb2a知识点二一元二次方程根的判别式根的判别式的应用(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况;(2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围例2不解方程,判断下列方程的根的情况:(1)2x2+3x-4=0;(2)16y2+9=24y;(3)5(x2+1)-7x=0.分析先化成一元二次方程的一般形式,求出根的判别式Δ=b2-4ac,然后判断是否有实数根.解析(1)2x2+3x-4=0,Δ=b2-4ac=9+32=410,故方程有两个不相等的实数根.(2)16y2+9=24y,16y2-24y+9=0,Δ=b2-4ac=576-4×16×9=0,故方程有两个相等的实数根.(3)5(x2+1)-7x=0,5x2-7x+5=0,Δ=b2-4ac=49-4×5×5=-510,故方程没有实数根.题型一利用b2-4ac由根的个数确定字母的值或范围例1已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0.(1)当k时,方程有两个不相等的实数根;(2)当k时,方程有两个相等的实数根;(3)当k时,方程没有实数根.解析(1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac0,即(-4)2-4×2k0,∴k2.(2)当方程有两个相等的实数根时,b2-4ac=0,即(-4)2-4×2k=0,∴k=2.(3)当方程没有实数根时,b2-4ac0,即(-4)2-4×2k0,∴k2.答案(1)2(2)=2(3)2点拨根的判别式在解一元二次方程的相关问题中应用十分广泛,可以利用它判断方程根的情况,也可以根据根的情况来确定方程中未知字母的值或范围.题型二用公式法解一般的一元二次方程例2解下列方程:(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2.解析(1)∵a=2,b=-4,c=-1,∴b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=240,∴x= = = ,∴x1= ,x2= .(2)将原方程变形为3x2-5x-2=0,∴a=3,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=490,∴x= = ,∴x1=2,x2=- .点拨用公式法解一元二次方程时,一定要把方程化为一般形式,在解答过程中要注意各项的符号,正确应用公式,准确计算.(4)24224264262262262(5)492357613知识点一用公式法求解一元二次方程1.(2019广西贺州富川中学月考)用公式法解一元二次方程3x2+3=-2x时,首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是 ()A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=3答案A3x2+3=-2x,3x2+2x+3=0,这里a=3,b=2,c=3,故选A.2.用公式法解下列方程:(1)3x2=4x+1;(2)y2+2=2 y;(3)5x2=4x-1.2解析(1)移项,得3x2-4x-1=0,a=3,b=-4,c=-1.∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=280,∴x= = ,故x1= ,x2= .(2)移项,得y2-2 y+2=0,a=1,b=-2 ,c=2.∵b2-4ac=(-2 )2-4×1×2=0,∴y= = ,即y1=y2= .42823273273273222220222(3)移项,得5x2-4x+1=0,a=5,b=-4,c=1.∵b2-4ac=(-4)2-4×5×1=-40,∴此方程无实数根.知识点二一元二次方程根的判别式3.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根答案BΔ=(-5)2-4×2×(-2)=25+16=410,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.4.(2018江苏泰州靖江实验中学月考)已知关于x的一元二次方程x2+2x-(m-3)=0有实数根,则m的取值范围是 ()A.m2B.m2C.m≥2D.m≤2答案C根据题意知,Δ=22-4×1×[-(m-3)]≥0,解得m≥2,故选C.5.(2017吉林长春期中)不解方程,判断下列方程的根的情况:(1)x2+2x-2=0;(2)4x2-x+4=0.解析(1)∵Δ=22-4×1×(-2)=120,∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵Δ=(-1)2-4×4×4=-630,∴方程没有实数根.6.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,根据下列条件求k的取值范围或k的值.(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程没有实数根.解析Δ=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9.(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ0,即8k+90,解得k- .(2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,即8k+9=0,解得k=- .(3)∵方程没有实数根,∴Δ0,即8k+90,解得k- .9898981.一元二次方程x2-2x-1=0的解是 ()A.x1=x2=1B.x1=1+ ,x2=-1- C.x1=1+ ,x2=1- D.x1=-1+ ,x2=-1- 222222答案C∵a=1,b=-2,c=-1,∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=80,∴x= = =1± ,∴x1=1+ ,x2=1- .故选C.(2)82122222222.一元二次方程4x2-1=4x的根的情况是 ()A.有两个不相等的实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根答案A把方程化为一般形式为4x2-4x-1=0,∵Δ=b2-4ac=(-4)2-4×4×(-1)=320,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.3.(2017山东泰安岱岳期末)若一元二次方程x2+x-1=0的较大根是m,则 ()A.m2B.m-1C.1m2D.0m1答案D∵a=1,b=1,c=-1,∴Δ=1-4×1×(-1)=50,则x= ,∴方程的较大根m= ,∵2 3,∴  1,故选D.1521525121521.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足 ()A.a≥1B.a1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠5答案A分类讨论:①当a-5=0,即a=5时,方程变为-4x-1=0,此时方程一定有实数根;②当a-5≠0,即a≠5时,∵关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,∴16+4(a-5)≥0,∴a≥1且a≠5.∴a的取值范围为a≥1.故选A.2.若实数a、b满足|b-1|+ =0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是.82a答案k≤4且k≠0解析∵实数a、b满足|b-1|+ =0,∴b-1=0,8-2a=0,∴b=1,a=4.∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,即方程kx2+4x+1=0有两个实数根,∴Δ=42-4k≥0且k≠0,∴k≤4且k≠0.82a3.已知a,b,c分别是三角形的三边长,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是.答案无实数根解析Δ=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b),∵a,b,c分别是三角形的三边长,∴c+a+b0,a+bc,∴c-a-b0,∴Δ0,则方程无实数根.4.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.(1)证明:无论m为何值,方程总有实数根;(2)当m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?解析(1)证明:由题意知m≠0,Δ=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.∵无论m为何值,都有(m-2)2≥0,即Δ≥0,∴方程总有实数根.(2)解关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,得x= = ,∴x1= ,x2=1.∵方程的两个根都是正整数,∴ 是正整数,∴m=1或2.∵两根不相等,∴m≠2,∴m=1.∴当m=1时,方程有两个不相等的正整数根.22mΔm2|2|2mmm2m2m5.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成两个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解析设一段铁丝的长度为xcm,则另一段铁丝的长度为(20-x)cm.(1)由题意可列方程 + =17,整理,得x2-20x+64=0.∴x= ,∴x1=16,x2=4.∴两段铁丝的长度分别为16cm和4cm.(2)不能.理由:若两个正方形的面积之和等于12cm2,则可列方程 + =12,整理,得x2-20x+104=0.∵b2-4ac=(-20)2-4×1×104=-160,∴此方程无解.∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.24x2204x220(20)464224x2204x1.(2015广西南宁中考)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的数,如max{2,4}=4,按这个规定,方程max{x,-x}= 的解为 ()A.1- B.2- C.1- 或1+ D.1+ 或-121xx22222答案D分类讨论:当x-x,即x0时,max{x,-x}=x,则x= ,∴x2-2x-1=0,解得x1=1- ,x2=1+ ,经检验,x=1+ 符合题意;当x-x,即x0时,max{x,-x}=-x,则-x= ,∴x2+2x+1=0,解得