2019秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程课件 （新版）北师大

第二章一元二次方程初中数学（北师大版）九年级上册知识点一用直接开平方法解一元二次方程例1解下列方程:(1)x2=169;(2)3x2-27=0;(3) x2=3;(4)(2x-1)2=81.12分析根据直接开平方法的一般解题步骤进行求解即可.解析(1)开平方,得x=±13.∴x1=13,x2=-13.(2)移项,得3x2=27.两边同时除以3,得x2=9.开平方,得x=±3,∴x1=3,x2=-3.(3)两边同时乘2,得x2=6.开平方,得x=± .∴x1= ,x2=- .(4)开平方,得2x-1=±9,即2x-1=9或2x-1=-9,∴x1=5,x2=-4.方法归纳方程(1)可直接开平方,方程(2)(3)应先变形为(1)的形式再开平方,方程(4)要把(2x-1)看作一个整体.666知识点二用配方法解一元二次方程例2用配方法解下列方程:(1)x2-4x+2=0;(2)6x2-x-12=0;(3)(x+2)2-2(x+2)=15.分析(1)(2)可直接根据配方法的步骤解方程;(3)可以将(x+2)看成一个整体,按照配方法的步骤解方程.解析(1)配方,得x2-4x+(-2)2=-2+(-2)2,即(x-2)2=2,∴x-2=± .∴x1= +2,x2=- +2.(2)系数化为1,得x2- x-2=0.移项,得x2- x=2.配方,得x2- x+ =2+ ,即 = ,∴x- =± .∴x1= ,x2=- .(3)配方,得(x+2)2-2(x+2)+1=16,即(x+2-1)2=16,得x+1=±4.∴x1=3,x2=-5.归纳总结方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键,将二次项系数化为1是进行这一关键步骤的重要前提.经典例题全解222161616211221122112x28914411217123243题型一用直接开平方法或配方法解一元二次方程例1解下列方程:(1)8(2-x)2-6=0;(2)9x2+6x+1=8;(3)3x2+2x-3=0.解析(1)原方程可变形为(2-x)2= ,直接开平方,得2-x=± ,∴2-x= 或2-x=- ,∴x1=2- ,x2=2+ .(2)原方程可变形为(3x+1)2=8,直接开平方,得3x+1=±2 ,∴3x+1=2 或3x+1=-2 ,∴x1= ,x2= .(3)移项,得3x2+2x=3,34323232323222212231223系数化为1,得x2+ x=1,配方,得x2+ x+ =1+ ,即 = ,直接开平方,得x+ =± ,∴x+ = 或x+ =- ,∴x1= ,x2= .点拨x1,x2表示方程的两个实根,其下标与根的大小无关.注意当方程配成x2=a或(mx-n)2=p(m≠0)时,若方程等号右边的常数为非负数,则方程有解;若方程等号右边的常数为负数,则方程无实数解.用配方法解一元二次方程的口诀:左“未”右“已”先分离,“二系”化“1”是其次,“一系”折半再平方,两边同加没问题,左“分解”来右“合并”,直接开方易得解.2323213213213x10913103131031310311031103题型二用配方法求二次三项式的最值例2求证:代数式x2-6x+12的最小值为3.分析将代数式配方成(x±a)2+b的形式,再根据完全平方式的非负性,即(x±a)2≥0,即可证明(x±a)2+b≥b.证明x2-6x+12=x2-6x+9-9+12=(x-3)2+3,因为(x-3)2≥0,所以(x-3)2+3≥3,所以代数式x2-6x+12的值不小于3,即x2-6x+12的最小值为3.点拨将x2-6x加上一次项系数一半的平方,即9,就会变成完全平方式.当然要注意这里不是方程,所以在加上9之后必须减去9,保证多项式本身的值不变.题型三应用配方法结合非负数的性质求代数式的值例3若x2-4x+y2+6y+ +13=0,求(xy)z的值.2z分析原式有三个未知数,只能寻找特殊方法求解.注意到含有x的两项与含有y的两项可分别配成完全平方式,故可从这里找到突破口.解析将x2-4x+y2+6y+ +13=0化为(x2-4x+4)+(y2+6y+9)+ =0,即(x-2)2+(y+3)2+ =0.根据非负数的性质知x=2,y=-3,z=2,∴(xy)z=[2×(-3)]2=36.点拨这里将13拆成4与9的和,分别与其他项配成了完全平方式,从而可以利用非负数的性质求值.2z2z2z知识点一用直接开平方法解一元二次方程1.用直接开平方法解方程(5x+6)2=9,下列结论正确的是 ()A.5x+6=3B.5x+6=-3C.5x+6=9或5x+6=-9D.5x+6=3或5x+6=-3答案D(5x+6)2=9两边同时开平方,得5x+6= 或5x+6=- ,即5x+6=3或5x+6=-3,故选D.992.(2018广西柳州中考)一元二次方程x2-9=0的解是.答案x1=3,x2=-3解析∵x2-9=0,∴x2=9,∴x1=3,x2=-3.知识点二用配方法解一元二次方程3.(2017浙江舟山中考)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是 ()A.(x+2)2=2B.(x+1)2=2C.(x+2)2=3D.(x+1)2=3答案B根据完全平方公式可配方,x2+2x+1-2=0,整理得(x+1)2=2.4.(2017台湾省中考)一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形式,其中a、b为整数,则a+b之值为 ()A.20B.12C.-12D.-20答案Ax2-8x=48,x2-8x+16=48+16,(x-4)2=48+16,∴a=4,b=16,∴a+b=20.故选A.5.填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2+()x+36=[x+()]2;(3)x2-4x-5=(x-)2-.答案(1)25;5(2)±12;±6(3)2;96.(2016湖北荆州中考)将二次三项式x2+4x+5化成(x+p)2+q的形式应为.答案(x+2)2+1解析x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.7.用配方法解下列方程:(1)x2+4x=0;(2)x2-2x-2=0;(3)2x2-3x-6=0;(4) x2+ x-2=0.2313解析(1)配方得(x+2)2=4,所以x+2=±2,所以x1=0,x2=-4.(2)移项得x2-2x=2,配方得(x-1)2=3,所以x-1=± ,所以x1= +1,x2=- +1.(3)系数化为1得x2- x-3=0,配方得 = ,所以x- =± ,所以x1= ,x2= .(4)系数化为1得x2+ x-3=0,配方得 = ,所以x+ =± ,所以x1= ,x2=-2.33332234x5716345743574357412214x49161474321.(2015甘肃兰州中考)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为 ()A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=15答案C变形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故选C.2.下列配方有错误的是 ()A.x2-2x-1=0化为(x-1)2=2B.x2+6x+8=0化为(x+3)2=1C.2x2-7x-6=0化为 = D.3x2-4x-2=0化为(3x-2)2=6274x9716答案D3x2-4x-2=0,x2- x= ,x2- x+ = + , = ,故选D.43234322323223223x1093.把方程x2+4x+1=0配方成(x+p)2+q=0的形式后,p2+q2的值是 ()A.41B.14C.13D.7答案C∵x2+4x+1=0可以配方成(x+2)2-3=0的形式,∴p=2,q=-3.∴p2+q2=22+(-3)2=13.4.若方程x2+px+q=0可化为 = 的形式,则pq=.212x34答案- 12解析 =x2+x+ = ,则x2+x- =0,则p=1,q=- ,则pq=- .212x14341212125.若3 y2与-x4m-2y2是同类项,则m=.22mmx答案2或 12解析由题意得2m2-m=4m-2,移项、合并同类项,得2m2-5m=-2,二次项系数化为1,得m2- m=-1,配方,得m2- m+ =-1+ , = ,∴m- =± ,∴m1=2,m2= .5252254254254m9165434126.用配方法解下列方程:(1)x2+7x-3=0;(2)6x2-11x+4=0;(3)x2-2 x-3=0;(4)x2+ x- =0;(5)x2+2ax+a2-b2=0;(6)(x+1)2-10(x+1)+9=0.21613解析(1)x2+7x=3,x2+7x+ =3+ , = ,x+ =± ,∴x1= ,x2= .(2)6x2-11x=-4,x2- x=- ,x2- x+ =- + , = ,x- =± ,∴x1= ,x2= .(3)x2-2 x=3,x2-2 x+(- )2=3+(- )2,(x- )2=5,x- =± ,∴x1= + ,x2=- + .272272272x61472612761276121162311621112232111221112x251441112512431222222255252(4)x2+ x= ,x2+ x+ = + , = ,x+ =± ,∴x1= ,x2=- .(5)x2+2ax+a2=b2,(x+a)2=b2,x+a=±b,∴x1=b-a,x2=-b-a.(6)令x+1=t,则原式可变形为t2-10t+9=0,t2-10t=-9,t2-10t+52=-9+52,(t-5)2=16,t-5=±4.∴t=1或t=9,即x+1=1或x+1=9,∴x1=0,x2=8.16131621121321122112x4914411271212231.图2-2-1是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为 ()输入x→(x-1)2→×(-3)→输出-27图2-2-1A.3或-3B.4或-2C.1或3D.27答案B根据题意得(x-1)2×(-3)=-27,化简得(x-1)2=9,∴x-1=±3,解得x=4或x=-2.故选B.2.若x2-4x+y2+6y+13=0,则yx=.答案9解析由原式得x2-4x+4+y2+6y+9=0,即(x-2)2+(y+3)2=0,可得x-2=0,且y+3=0,∴x=2,y=-3,∴yx=(-3)2=9.3.小明用直接降次法解方程(x-4)2=(5-2x)2时,得出一元一次方程x-4=5-2x,则他漏掉的另一个方程为.答案x-4=-(5-2x)解析由平方根的意义得x-4=±(5-2x),即x-4=5-2x或x-4=-(5-2x).故填x-4=-(5-2x).4.(2017福建福州马尾期末,23,★★★)利用完全平方公式可以将多项式ax2+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如:x2+11x+24=x2+11x+ - +24= - = =(x+8)(x+3).根据以上材料,解答下列问题:(1)用配方法将多项式x2-3x-10化成(x+m)2+n的形式;(2)用配方法及平方差公式对多项式x2-3x-10进行因式分解;(3)求证:无论x,y取何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数.211221122112x25411522x11522x解析(1)x2-3x-10=x2-3x+ -