2019年春九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质课

27.2.2相似三角形的性质学前温故新课早知相似三角形的对应边,对应角.相似三角形对应边的比叫做.成比例相等成比例1.相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于.相似三角形对应线段的比等于.2.已知两个相似三角形的对应中线之比为1∶2,则其对应的角平分线的比为.3.已知等腰三角形ABC和等腰三角形DEF相似,其相似比为3∶4,则它们底边上对应高的比为()A.3∶4B.4∶3C.1∶2D.2∶14.相似三角形周长的比等于.相似三角形面积的比等于.相似比相似比1∶2A相似比相似比的平方学前温故新课早知5.已知两个三角形相似,根据下列数据填表:相似比213周长比0.0110面积比100000.01240.010.00011010013191001000.10.1学前温故新课早知相似三角形的性质【例题】如图,在▱ABCD中,E为边AB上一点,DE与AC相交于点F,且AE∶BE=1∶2.(1)求△AEF与△CDF的对应高的比;(2)若S△AEF=8cm2,求S△CDF.分析根据平行四边形的特征,易于判定△AEF与△CDF相似,并能把线段的比转化成为相似三角形对应边的比,于是可利用相似三角形的性质进行计算求解.解:(1)因为AE∶BE=1∶2,所以AE∶AB=1∶3.由平行四边形的性质,得AB∥CD,AB=CD.所以△AEF∽△CDF,AE∶CD=1∶3.所以△AEF与△CDF的对应高的比为1∶3.(2)因为△AEF∽△CDF,所以S△AEF∶S△CDF=1∶9.因为S△AEF=8cm2,所以S△CDF=9×8=72(cm2).点拨1.借助平行四边形对边的平行性,可以得到相似三角形,因此可以计算线段的比以及图形面积的比.2.相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比、对应周长之比,都等于相似比,而其面积的比等于相似比的平方,这一点必须注意,以避免混淆出错.67123451.如图,在▱ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F,则△EDF与△BCF的对应角平分线之比为()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5答案解析解析关闭在▱ABCD中,AD=BC,AD∥BC,又E是AD的中点,所以DE=12AD=12BC.由AD∥BC,得△EDF∽△BCF.它们的对应角平分线之比等于相似比,即ED∶BC=12BC∶BC=1∶2.故选A.答案解析关闭A67123452.将一副三角板按如图所示叠放,则△AOB与△DOC的面积之比等于()A.13B.12C.13D.14答案答案关闭C67123453.如图,点D是△ABC的边BC上任一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为()A.aB.12aC.13aD.25a答案解析解析关闭∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA.∴𝐴𝐷𝐴𝐵=24=12.因此△ACD与△BCA的相似比是12,即面积比是14.设△ACD的面积为S,则△ABC的面积为S+a,因此𝑆𝑆+𝑎=14,解得S=13a.答案解析关闭C67123454.如图,在△ABC中,BCAC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CE交AD于点E,点F是AB的中点,则S△AEF∶S四边形BDEF为()A.3∶4B.1∶2C.2∶3D.1∶3答案解析解析关闭∵DC=AC,CE平分∠ACB,∴AE=DE(等腰三角形“三线合一”).∵点F是AB的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD,EF=12BD.∴△AFE∽△ABD.则S△AEF∶S△ADB=𝐸𝐹𝐷𝐵2=122=14,∴S△AEF∶S四边形BDEF=1∶3,应选D.答案解析关闭D67123455.在△ABC中,D,E分别是边AB与AC的中点,BC=4,下面四个结论:①DE=2;②△ADE∽△ABC;③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1∶4;④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1∶4;⑤△ADE与△ABC对应线段的比为1∶2,其中正确的有.(填序号)答案解析解析关闭∵D,E分别是边AB与AC的中点,∴DE∥BC,且DE=12BC.又BC=4,∴DE=2,即①正确;由DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,即②正确;由△ADE∽△ABC和DE=12BC,得△ADE的面积与△ABC的面积之比为1∶4,且易求△ADE的周长与△ABC的周长之比为1∶2,∴③正确,④错误;显然,⑤也正确,故正确的有①②③⑤.答案解析关闭①②③⑤67123456.如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM=.答案解析解析关闭∵M,N分别为AC,BC的中点,∴MN∥AB,且MN=12AB,∴△CMN∽△CAB,且相似比为1∶2,∴𝑆△𝐶𝑀𝑁𝑆△𝐶𝐴𝐵=14.∵S△CMN=1,∴S△CAB=4,∴S四边形ABNM=S△CAB-S△CMN=4-1=3.答案解析关闭367123457.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是BC边上的高,BC=40cm,AD=30cm.从这张硬纸片上剪下一个长(HG)是宽(HE)的2倍的矩形纸片EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.(2)求这个矩形EFGH的周长.(1)求证:𝐴𝑀𝐴𝐷=𝐻𝐺𝐵𝐶;6712345(1)证明：∵四边形EFGH为矩形,∴EF∥GH,∠AHG=∠ABC.又∠HAG=∠BAC,∴△AHG∽△ABC.设HE=xcm,则HG=2xcm,AM=AD-DM=AD-HE=(30-x)cm.所以矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72(cm).∴𝐴𝑀𝐴𝐷=𝐻𝐺𝐵𝐶.(2)解:由(1),知𝐴𝑀𝐴𝐷=𝐻𝐺𝐵𝐶.可得30-𝑥30=2𝑥40,解得x=12,则2x=24.