2019年春九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数本章整合课件 （新版）新人教版

本章整合1.锐角三角函数的概念【例1】如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且E是AB中点,则tan∠BFE的值是()分析连接AC,根据菱形的性质与已知条件,易证△ABC是等边三角形,从而可知∠BFE=60°.解析:如图,连接AC.∵CE垂直平分AB,∴BC=AC.又四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=∠ABC=30°,∴∠BFE=60°,∴tan∠BFE=.故选D.答案:D点拨除像该例恰好遇到特殊角外,解决该类问题的常用方法是设参数法,即先用含参数的代数式表示出各边长,再利用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.312跟踪训练GenZonɡXunLian1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是()A.34B.43C.35D.45答案解析解析关闭由勾股定理,得AC=4,故在Rt△ABC中,cosA=𝐴𝐶𝐴𝐵=45.答案解析关闭D2.与特殊角的三角函数值有关的计算【例2】(1)计算sin245°+cos30°tan60°,其结果是()(2)在锐角三角形ABC中,如果∠A,∠B满足分析(1)把特殊角的三角函数值直接代入计算即可.(2)根据绝对值与平方的非负性可以得到∠A的正切值与∠B的余弦值,进而可先求出两角的度数,再利用三角形内角和定理计算∠C的大小.A.2B.1C.52D.54|tanA-1|+cos𝐵-122=0,那么∠C=.解析:(1)原式=222+32×3=12+32=2,故选A.(2)∵|tanA-1|+cos𝐵-122=0,∴|tanA-1|=0,cos𝐵-122=0,∴tanA=1,cosB=12.又∠A,∠B都为锐角,∴∠A=45°,∠B=60°,∴∠C=180°-45°-60°=75°,故答案为75°.答案:(1)A(2)75°点拨熟记特殊角的三角函数值与实数的运算法则是进行三角函数计算的关键.另外,由特殊锐角的三角函数值反求角的度数,常与“几个非负数的和为0,则这几个非负数的值分别为0”的性质密切联系.跟踪训练GenZonɡXunLian2.计算:(-1)2018-9-(3-π)0+|3-3|+(tan30°)-1.答案答案关闭(-1)2018-9-(3-π)0+|3-3|+(tan30°)-1=1-3-1+3-3+3=0.3.解直角三角形【例3】如图,已知△ABC.按如下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.分析(1)根据尺规作图步骤直接利用“SSS”判定方法证得结论;(2)先证明AC⊥BE,得出Rt△ABE和Rt△BEC.设BE=x,先利用特殊角的三角函数表示相关线段长度,再利用AE+CE=AC构建方程求值.(1)证明在△ABC与△ADC中,由作图步骤,可知AB=AD,BC=CD.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).(2)解由(1)得AB=AD,∠BAC=∠DAC,∴AE⊥BD,即AC⊥BE.设BE=x,在Rt△ABE中,∵∠BAC=30°,点拨解直角三角形时,要结合图形,根据已知条件选择合适的关系式进行计算.另外,注意把解直角三角形与求锐角的三角函数值区别开来,前者是求直角三角形中未知的边和角,后者是计算锐角的正弦、余弦与正切值.∴∠ABE=60°,∴AE=tan60°·x=3x.在Rt△BEC中,∵∠BCA=45°,∴CE=BE=x.∵AE+CE=AC,AC=4,∴3x+x=4,∴x=23-2,∴BE=23-2.跟踪训练GenZonɡXunLian3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4,求BC的长(结果保留根号).答案答案关闭∵∠ABC=90°,∠BDC=45°,∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°,∴AB=3BC,∴AD+BD=3BC,即AD+BC=3BC.∵AD=4,∴4+BC=3BC,解得BC=23+2,即BC的长为23+2.4.解直角三角形的实际应用【例4】“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60km/h,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5s,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200m.此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:分析过点C作CE⊥MN于点E,先在Rt△BCE中利用正弦函数和余弦函数求出CE和BE的长,再在Rt△ACE中,利用正切函数,求得AE的长;由于小车从点A行驶到点B用时5s,即可求得小车的速度,与60km/h比较大小,即可判断该车是否超速.2≈1.41,3≈1.73)解:此车没有超速.理由:过点C作CE⊥MN于点E.在Rt△BCE中,∠CBN=60°,BC=200m.∵sin∠CBN=𝐶𝐸𝐵𝐶,cos∠CBN=𝐵𝐸𝐵𝐶,∴sin60°=𝐶𝐸200,cos60°=𝐵𝐸200.∴CE=200×32=1003(m),BE=200×12=100(m).在Rt△ACE中,∠CAN=45°.∵tan∠CAN=𝐶𝐸𝐴𝐸,∴tan45°=𝐶𝐸𝐴𝐸,∴CE=AE.∴1003=AB+100.∴AB=1003-100.∴小车的速度是1003-1005≈14.6(m/s).∵14.6m/s=52.56km/h60km/h,∴此车没有超速.点拨利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造,即把实际问题转化为数学问题,并构造直角三角形求解.解题时要认真审题,弄清仰角、俯角、方向角、坡度的含义,并注意检验数学问题的答案是否符合实际意义.跟踪训练GenZonɡXunLian4.如图,初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上点C处用测角仪测得旗杆顶点A的仰角∠AFE=60°,再沿着直线BC后退8m到点D,在点D又测得旗杆顶点A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6m,求旗杆AB的高度.(的近似值取1.7,结果保留一位小数)3答案答案关闭设EF=xm,在Rt△AEF中,∠AFE=60°,∴AE=EF·tan60°=3x(m).在Rt△AGE中,∠AGE=45°,∴AE=GE·tan45°=GE=(8+x)m.∴3x=8+x.解得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8(m).∴AB≈20.4m.因此旗杆AB的高度约为20.4m.678910111213123451415答案答案关闭B1.(2018·天津中考)cos30°的值等于()A.22B.32C.1D.367891011121312345答案答案关闭B14152.(2018·浙江金华中考)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()A.tan𝛼tan𝛽B.sin𝛽sin𝛼C.sin𝛼sin𝛽D.cos𝛽cos𝛼678910111213123451415答案答案关闭A3.(2018·山东威海中考)如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-12x2刻画,斜坡可以用一次函数y=12x刻画,下列结论错误的是()A.当小球抛出高度达到7.5m时,小球距点O水平距离为3mB.小球距点O水平距离超过4m呈下降趋势C.小球落地点距点O水平距离为7mD.斜坡的坡度为1∶26789101112131234514154.(2018·重庆中考)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部点E处测得旗杆顶端的仰角∠AED为58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE为7m,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2m,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC为1m,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)A.12.6mB.13.1mC.14.7mD.16.3m答案答案关闭B678910111213123451415答案答案关闭B5.(2018·四川绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船,于点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达点C时,测得海岛B在点C的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是()(结果保留小数点后两位,参考数据:A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里3≈1.732,2≈1.414)6789101112131234514156.(2018·浙江宁波中考)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200m,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为m.(结果保留根号)答案答案关闭1200(3-1)678910111213123451415答案答案关闭2557.(2018·山东滨州中考)在△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则sinB=.126789101112131234514158.(2018·江苏无锡中考)已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积等于.7答案答案关闭153或1036789101112131234514159.(2018·四川眉山中考)如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则tan∠AOD=.答案答案关闭267891011121312345141510.(2018·山东德州中考)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是.答案答案关闭5567891011121312345141511.(2018·山东济宁中考)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线l的距离是km.答案答案关闭367891011121312345141512.(2018·山东枣庄中考)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12m,则大厅两层之间的高度为m.(结果保留两个有效数字)(参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601)答案答案关闭6.267891011121312345141513.(2018·四川自贡中考)如图,在△ABC中,BC=12,tanA=,∠B=30°,求AC和AB的长.34678910111213123451415解:如图,作CH⊥AB于点H.在Rt△BCH中,∵BC=12,∠B=30°,∴CH=12BC=6,BH=𝐵𝐶2-𝐶𝐻2=63.在Rt△ACH中,tanA=34=𝐶𝐻𝐴𝐻,∴AH=8,∴AC=𝐴𝐻2+𝐶𝐻2=10,AB=AH+BH=8+63.67891011121312345141514.(2018·四川达州中考)在数学实践活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C'的仰角为30°,再往雕塑方向前进4m至B处,测得仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)678910111213123451415解:如图,过点C作CD⊥AB,交AB延长线于点D.设CD=xm.∵∠CBD=45°,∠BDC=90°,∴BD=CD=xm.∵∠A=30°,AD=AB+BD=(4+x)m,∴tanA=𝐶𝐷𝐴𝐷,即33=𝑥4+𝑥,解得x=2+23.答:该雕塑的高度为(2+23)m.67891011121312345141515.(2018·湖南衡阳中考)一名徒步爱好者来衡阳旅行