2019版高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系课件 新人教B版选修4-4

-1-1.2极坐标系ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式,能进行极坐标和直角坐标的互化.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,称为极点;由O点出发的一条射线Ox,称为极轴;一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.(2)极坐标系内点的极坐标的规定:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画.ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角,有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,记作M(ρ,θ).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12名师点拨(1)极点的极坐标.极点的极径ρ=0,极角θ可以是任何实数.所以极点的极坐标为(0,θ)(θ∈R),也就是说极点有无数个极坐标.(2)点的极坐标的多样性.平面上给定一点,可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(ρ,θ)的定义,对于给定的点的无数个极坐标,可分为两类:一类为(ρ,θ+2kπ)(k∈Z);另一类为(-ρ,θ+2kπ+π)(k∈Z).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】若ρ1+ρ2=0(ρ1≠0,ρ2≠0),θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是()A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点垂直于极轴的直线对称D.两点重合答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-2】下列关于极坐标系的叙述:①极轴是一条射线;②极点的极坐标是(0,0);③点(0,0)表示极点;⑤动点M(5,θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心,以5为半径的圆.其中叙述正确的序号是.④点M4,𝜋4与点N4,5𝜋4表示同一个点;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12解析:设极点为O,极轴就是射线Ox,①正确;极点O的极径ρ=0,极角θ是任意实数,极点的极坐标应为(0,θ),②错误;给定极坐标(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与点N的极角分别是,④错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.答案:①③⑤θ1=π4,𝜃2=5π4,二者的终边互为反向延长线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.极坐标和直角坐标的关系(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位.(2)极坐标与直角坐标互化公式:设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ),则𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,或𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(𝑥≠0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12名师点拨(1)极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘(或除以)ρ等技巧.(2)通常情况下,由tanθ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意:当x≠0时,角θ才能由tanθ=𝑦𝑥按上述方法确定.当x=0时,tanθ没有意义,这时又分三种情况:①当x=0,y=0时,θ可取任何值;②当x=0,y0时,可取θ=π2;③当x=0,y0时,可取θ=3π2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】点P的直角坐标为(−2,2),则它的极坐标可以是()A.2,π4B.2,3π4C.2,5π4D.2,7π4答案:B【做一做2-2】将极坐标2,3π2化为直角坐标为()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航极坐标和直角坐标的相同点和不同点剖析极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系,它由极点O与极轴Ox组成.对于平面内任意一点P,若|OP|=ρ(ρ≥0),以Ox为始边,OP为终边的角为θ,则点P可用有序数对(ρ,θ)表示.直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴,点的坐标用有序数对(x,y)来表示.在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,但在极坐标系内,显然一个有序数对(ρ,θ)只能与一个点对应,但一个点P却可以与无数多个有序数对(ρ,θ)对应,也就是说平面上某点的极坐标是不唯一的,极坐标系中的点与有序数对(ρ,θ)不是一一对应的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一由点的位置确定极坐标【例1】写出图中各点的极坐标,其中θ∈[0,2π).分析欲确定点的位置,需先确定ρ和θ的值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:由点A在极坐标系中的位置知,它的极径为4,极角为0,所以它的极坐标为A(4,0),同理,得𝐵2,π4,𝐶3,π2,𝐷1,5π6,𝐸(4,π),𝐹6,4π3,𝐺5,5π3,而极点O的极坐标为(0,θ),θ∈[0,2π).反思(1)写点的极坐标要注意顺序:极径ρ在前,极角θ在后,不能把顺序颠倒了.(2)点的极坐标是不唯一的,但若限制ρ0,0≤θ2π,则除极点外,点的极坐标是唯一确定的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二对称问题【例2】点M的极坐标是-2,-π6,它关于射线𝜃=π2所在的直线的对称点的极坐标是()A.2,11π6B.-2,7π6C.2,-π6D.-2,-11π6ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解析:如图描点-2,-π6时,先找到角−π6的终边.因为ρ=-20,所以在角−π6的终边的反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点-2,-π6.射线θ=π2,就是极角为π2的那些点的集合.故𝑀-2,-π6关于射线𝜃=π2所在的直线的对称点为M′2,π6,但是选项中没有这样的坐标.又因为M′2,π6的坐标还可以写成M′-2,7π6,所以选B.答案:B反思极坐标系中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线的对称点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:①2,π4;②6,-π3;③(5,π).(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ0,0≤θ2π):①(3,3);②(−1,−1);③(−3,0).解:(1)①x=2×cosπ4=1,𝑦=2×sinπ4=1,故点2,π4的直角坐标为(1,1).②x=6×cos-π3=3,𝑦=6×sin-π3=−33.故点6,-π3的直角坐标为(3,-33).③x=5×cosπ=-5,y=5×sinπ=0,故点(5,π)的直角坐标为(-5,0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三(2)①ρ=(3)2+32=23,tan𝜃=33=3.因为点(3,3)在第一象限,所以θ=π3.所以点(3,3)的极坐标为23,π3.②ρ=(-1)2+(-1)2=2,tanθ=1.因为点(-1,-1)在第三象限,所以θ=5π4.所以点(-1,-1)的极坐标为2,5π4.③ρ=(-3)2+02=3,因为极角为π,所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234561.下列各点中与极坐标5,π7表示同一个点的是()A.5,6π7B.5,15π7C.5,-6π7D.5,-π7答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234562.在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标(x,y)与其极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ2π)在数值上相同,则点P在()A.x轴上B.y轴上C.射线Ox上D.射线Oy上答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234563.在极坐标系中,已知𝐴2,π6,𝐵6,-π6,则𝑂𝐴,𝑂𝐵的夹角为()A.π6B.0C.π3D.5π6解析:如图所示,夹角为π3.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234564.点𝑀6,5π6到极轴所在直线的距离为.解析:依题意,点𝑀6,5π6到极轴所在直线的距离为d=6×sin5π6=3.答案:3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234565.已知极坐标系中,极点为O,ρ≥0,0≤θ2π,𝑀3,π3,在直线𝑂𝑀上与点𝑀的距离为4的点的极坐标为.解析:如图,|OM|=3,∠xOM=π3,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=