2019版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其

-1-3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量目标导航1.理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面所成的角.3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角大小的基本方法.知识梳理1.直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为90°;(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为0°;(3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角);(4)直线与平面的夹角的范围是[0°,90°].【做一做1】已知直线l的一个方向向量与平面α的法向量的夹角为135°,则直线l与平面α的夹角为()A.135°B.45°C.75°D.以上均错解析:因为直线与平面的夹角的范围是[0°,90°],所以直线l与平面α的夹角为180°-135°=45°,90°-45°=45°.答案:B知识梳理2.最小角定理(1)线线角、线面角的关系式:cosθ=cosθ1cosθ2,如图,θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角.(2)最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.【做一做2】已知一条直线与平面的夹角为30°,则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为()A.30°B.60°C.90°D.150°答案:A知识梳理3.二面角的定义及表示方法(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面.(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作α-l-β.若A∈α,B∈β,二面角也可以记作A-l-B.(3)二面角的平面角在二面角α-l-β的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.(4)二面角的范围是[0°,180°].(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角.知识梳理名师点拨1.二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形.2.符号α-l-β的含义是棱为l,两个面分别为α,β的二面角.3.两个平面相交,构成四个二面角.知识梳理【做一做3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-B1C-A1的平面角的正切值为()A.1B.22C.2D.3解析:连接A1D,设A1D,B1C的中点分别为E,F,连接AF,EF,可知∠AFE是所求二面角的平面角.在Rt△AEF中,tan∠AFE=𝐴𝐸𝐸𝐹=22𝐴𝐵𝐴𝐵=22.答案:B知识梳理4.设m1⊥α,m2⊥β,则角m1,m2与二面角α-l-β相等或互补.【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3,-6,5),则这个二面角的余弦值是()A.0B.32C.12D.22解析:4×3+2×(-6)+0×5=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直.故这个二面角的余弦值是0.答案:A重难聚焦1.如何理解直线与平面所成的角?剖析:(1)直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角;(2)直线与一个平面垂直时,直线与平面的夹角为90°;(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为0°.2.如何用向量求线面角?剖析:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线与平面所成的角为θ,则sinθ=|cosa,n|=|𝑎·𝑛||𝑎||𝑛|.重难聚焦3.如何理解二面角的平面角?剖析:二面角的平面角必须具备三个条件:(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上;(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内;(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直,且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关.4.如何求二面角?剖析:(1)作出二面角的平面角;(2)利用法向量的夹角.典例透析题型一题型二题型三题型四用定义法求直线与平面所成的角【例1】已知∠BOC在平面α内,OA是平面α的一条斜线,若∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=2𝑎,求𝑂𝐴与平面𝛼所成角的大小.分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后解三角形求出线面角.解:∵OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,∴AB=AC=a.∵为等腰直角三角形.同理,△BOC也为等腰直角三角形.如图,过点A作AH⊥α于点H,连接OH,则OH为AO在平面α内的射影,∠AOH为OA与平面α所成的角.BC=2𝑎,∴𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=𝐵𝐶2,∴△ABC典例透析题型一题型二题型三题型四∵OA=OB=OC=AB=AC,∴OH=BH=CH,H为△BOC的外心,∴点H在BC上,且为BC的中点.∵在Rt△AOH中,AH=22𝑎,∴sin∠AOH=𝐴𝐻𝐴𝑂=22,∴∠AOH=45°,∴OA与平面α所成角的大小为45°.反思用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.典例透析题型一题型二题型三题型四用向量法求直线与平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2BC,A1B⊥B1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值.分析:因为是直三棱柱,所以本题可建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.典例透析题型一题型二题型三题型四解:以C为原点,𝐶𝐴,𝐶𝐵,𝐶𝐶1为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设|BC|=2,|CC1|=a,则A(4,0,0),A1(4,0,a),B(0,2,0),B1(0,2,a).∵A1B⊥B1C,∴𝐵𝐴1·𝐶𝐵1=0,∴𝑎=2.典例透析题型一题型二题型三题型四设n=(x,y,z)是平面A1ABB1的一个法向量,则n·𝐴1𝐵1=−4𝑥+2𝑦=0.n·𝐵𝐵1=2𝑧=0,∴取n=(1,2,0),又𝐶𝐵1=(0,2,2),设B1C与侧面A1ABB1所成的角为θ,则sinθ=|cosn,𝐶𝐵1|=4210=105,∴B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值为105.反思利用向量法求斜线与平面的夹角的优势在于不用找角,只需建立适当的坐标系,用待定系数法求出平面的法向量,再用公式求解即可.但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系.典例透析题型一题型二题型三题型四用定义法求二面角的大小【例3】如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=DC=BC=a,AB=3𝑎.(1)求证:平面ABC⊥平面ADC;(2)求二面角C-AB-D的大小.分析:(1)可利用面面垂直的判定定理证明;(2)利用平面ABC垂直于平面ADC,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角.典例透析题型一题型二题型三题型四(1)证明:因为AD⊥平面BCD,所以AD⊥DB,AD⊥BC.又AD=a,AB=3𝑎,所以DB=2𝑎.又DC=BC=a,因此BD2=CD2+BC2,即∠DCB=90°,所以DC⊥BC,因此BC⊥平面ADC.又BC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面ADC.(2)解:作DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,连接EF,因为平面ABC垂直于平面ADC,因此DE⊥平面ABC,所以AB⊥平面DEF,所以EF⊥AB,则∠DFE为二面角C-AB-D的平面角,在直角三角形DEF中,∠DEF=90°,DF=𝑎·2𝑎3𝑎=63𝑎,𝐷𝐸=22𝑎,所以sin∠DFE=32,所以∠DFE=60°,故二面角C-AB-D的大小为60°.典例透析题型一题型二题型三题型四反思所谓定义法,就是作出二面角的平面角,然后通过解三角形求解.作出二面角的平面角常用的方法有:(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;(2)在二面角的一个面上取一点,利用三垂线定理作平面角;(3)在二面角的棱上取一点,分别在两个面内作出和棱垂直的射线.典例透析题型一题型二题型三题型四用向量法求二面角的大小【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A1-BD-C1的余弦值.分析:本题可建立空间直角坐标系,分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量,然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值.典例透析题型一题型二题型三题型四解:不妨设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,则𝐷𝐵=(1,1,0),𝐷𝐶1=(0,1,1),设平面C1BD的法向量为n1=(x,y,z),则n1·𝐷𝐵=0,n1·𝐷𝐶1=0,即x+y=0,y+z=0,令x=1,则y=-1,z=1,所以n1=(1,-1,1)是平面C1BD的一个法向量.同理,得n2=(-1,1,1)是平面A1BD的一个法向量.因为|n1|=3,|n2|=3,所以cosn1,n2=−13.故二面角A1-BD-C1的余弦值为13.典例透析题型一题型二题型三题型四反思用向量法求二面角有如下方法:(1)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量,转化为这两个向量的夹角,但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上.(2)建立空间直角坐标系,分别求两个平面的法向量m,n,根据cosθ=|𝑚·𝑛||𝑚||𝑛|求得锐角θ,若二面角为锐角,则为θ,若二面角为钝角,则为180°-θ.典例透析123451.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A.33B.12C.66D.32解析:设BC的中点为E,则∠OAE就是AO与平面ABCD所成的角.答案:C典例透析123452.若正三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,则侧棱与底面所成的角的正切值是()A.3B.2C.33D.22答案:B典例透析123453.若BC在平面α内,斜线AB与平面α所成的角为γ,∠ABC=θ,AA'⊥平面α,垂足为A',∠A'BC=β,那么()A.cosθ=cosγ·cosβB.sinθ=sinγ·sinβC.cosγ=cosθ·cosβD.cosβ=cosγ·cosθ答案:A典例透析123454.已知正四面体ABCD,则二面角A-BC-D的余弦值为()A.12B.13C.33D.32解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,连接AE,DE,则∠AEO就是二面角A-BC-D的平面角.在Rt△AOE中,AE=32𝐴𝐵,𝑂𝐸=36𝐴𝐵,则cos∠AEO=𝐸𝑂𝐴𝐸=13.答案:B典例透析123455.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大小是()A.45°B.90°C.60°D.120°解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,cosθ=|𝑎·𝑏||𝑎||𝑏|=12×2=12,故θ=60°.答案:C典例透析