2019版高中数学 第三章 不等式本章整合课件 新人教B版必修5

-1-本章整合知识建构真题放送综合应用不等关系与不等式实数比较大小的方法:𝑎-𝑏0⇔𝑎𝑏,𝑎-𝑏=0⇔𝑎=𝑏,𝑎-𝑏0⇔𝑎𝑏不等式的性质:它是不等式这一章内容的基础,是不等式证明和解不等式的主要依据,应特别重视均值不等式定义:“一正”“二定”“三相等”,三者缺一不可实际应用举例:利用均值不等式求解实际应用问题,应注意不等式成立的条件一元二次不等式及其解法:应借助于一元二次函数和一元二次方程数形结合求解不等式的实际应用:以实际问题为背景,考查一元二次不等式及均值不等式求最值等问题二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题二元一次不等式(组)表示平面区域:特殊点验证二元一次不等式(组)的平面区域图解法求目标函数的最值等问题及应用:先准确地画出约束条件所表示的平面区域,再用图解法直观地求出最优解知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一用函数的图象解不等式函数是中学数学中的重点内容之一,它贯穿于中学数学教学的始终,而利用函数的图象能直观、准确、迅速地分析研究函数的性质或解决与函数有关的问题,因此,函数图象是高考考查的重点内容,在历年高考中都有涉及.函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了形的直观性,它是探求解题路径、获得问题结果的重要工具,在解方程或不等式时,特别是非常规的方程或不等式,有时需要画出图象,利用数形结合能起到十分快捷的效果.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用1已知函数f(x)=若方程f(x)=k无实根,则实数k的取值范围是()lg𝑥,𝑥≥32,lg(3-𝑥),𝑥32,A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.-∞,lg32D.lg32,+∞提示:所给的函数f(x)是分段函数,而方程f(x)=k无实数根,可利用数形结合法转化为函数图象无交点.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六解析:在同一坐标系内作出y=f(x)与y=k的图象,如图所示,当x=32时,f(x)=lg32.所以若两函数图象无交点,则klg32.答案:C知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用2已知a,b,c依次是方程2x+x=0,log2x=2-x和=x的实数根,则a,b,c的大小关系是.提示:构造常见的初等函数,利用函数的图象可解决问题.解析:由2x+x=0,得2x=-x,设函数y1=2x,y2=-x,分别作出它们的图象,如图①,两图象交点的横坐标为a,可得a0,同理,对于方程log2x=2-x,可得图②,得1b2;对于方程=x,可得图③,得0c1,所以acb.log12xlog12x知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六答案:acb知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题二不等式的解法常见的不等式有一元一次不等式,一元二次不等式,简单的高次不等式,分式不等式,含有指数、对数的不等式,其解法为:(1)解一元二次不等式,画出其对应的二次函数图象,来确定解集.(2)解高次不等式常用穿根法.(3)分式不等式利用不等式的性质将其转化为整式不等式(组)求解.(4)解含有指数、对数的不等式时,利用指数与对数函数的单调性,将指数、对数不等式转化成与之等价的不等式(组)求解.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用1求解下列不等式:(1)-x2+2x+30;(2)x3+2x2-3x0;(3)𝑥2𝑥-2≥-1;(4)log12(2x2+3x)≥-1.提示:(1)注意解一元二次不等式的几个步骤.(2)穿根法求解.(3)转化为整式不等式,注意分母不为0.(4)对数不等式,真数大于0.解:(1)因为-x2+2x+30,所以x2-2x-30.又方程x2-2x-3=0的两根为x1=-1,x2=3,所以原不等式的解集为{x|x3或x-1}.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(2)由x3+2x2-3x=x(x2+2x-3)=x(x+3)(x-1),可令f(x)=x(x-1)(x+3),因为f(x)=0的根为-3,0,1,所以由穿根法(如图),得不等式x3+2x2-3x0的解集为{x|x1或-3x0}.(3)由𝑥2𝑥-2≥-1,得𝑥2𝑥-2+1=𝑥2+𝑥-2𝑥-2≥0,即(x2+x-2)(x-2)≥0,且x-2≠0,即(x-1)(x+2)(x-2)≥0,且x≠2,如图,由穿根法得原不等式的解集为{x|-2≤x≤1或x2}.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(4)因为log12(2x2+3x)≥-1=log122,又0121,所以原不等式同解于不等式组2𝑥2+3𝑥0,2𝑥2+3𝑥≤2.解得𝑥0或𝑥-32,-2≤𝑥≤12.所以原不等式的解集为𝑥|-2≤𝑥-32或0𝑥≤12.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用2解关于x的不等式(x-2)(ax-2)0.提示:二次项系数为a,需对a的正负进行讨论;还要对根的大小进行讨论,两者要同时进行.解:(1)当a=0时,原不等式化为(x-2)·(-2)0,即x-20,所以x2.(2)当a0时,原不等式可化为(x-2)𝑥-2𝑎0,此时两根大小关系为22𝑎,解得2𝑎x2.(3)当a0时,原不等式可化为(x-2)𝑥-2𝑎0,此时两根分别为2,2𝑎.①当a=1时,2𝑎=2,解得x≠2.②当a1时,22𝑎,解得x2或x2𝑎.③当0a1时,22𝑎,解得x2𝑎或x2.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六综上所述,不等式的解集为当a=0时,{x|x2};当a=1时,{x|x≠2};当a0时,𝑥|2𝑎𝑥2;当a1时,𝑥|𝑥2或𝑥2𝑎;当0a1时,𝑥|𝑥2𝑎或𝑥2.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题三利用均值不等式求最值的常用方法均值不等式是一个重要的不等式,利用它可以求解某些函数最值问题.对于有些题目,可以直接利用均值不等式求解.但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解.常见的变形方法为配凑法、整体代换法等.下面介绍一些常用的变形方法.1.凑系数应用1已知0x5,求y=x(10-2x)的最大值.提示:由0x5,知10-2x0,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值.注意到2x+(10-2x)=10为定值,故只需将y=x(10-2x)凑上一个系数即可.解:y=x(10-2x)=12[2x·(10-2x)]≤122𝑥+10-2𝑥22=252,当且仅当2x=10-2x,即x=52时,等号成立.所以当x=52时,y=x(10-2x)的最大值为252.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六2.凑项法应用2已知x54,求函数f(x)=4x-2+14𝑥-5的最大值.提示:由题意知4x-50,首先要调整符号,又(4x-2)·不是定值,故需对4x-2进行凑项才能得到定值.14𝑥-5解:因为x54,所以5-4x0.所以f(x)=4x-2+14𝑥-5=-5-4𝑥+15-4𝑥+3≤-2(5-4𝑥)·15-4𝑥+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4𝑥,即x=1时等号成立,此时f(x)的最大值为1.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六3.分离法应用3求f(x)=𝑥2+7𝑥+10𝑥+1(x≠-1)的值域.提示:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离.解:f(x)=𝑥2+7𝑥+10𝑥+1=(𝑥+1)2+5(𝑥+1)+4𝑥+1=(x+1)+4𝑥+1+5,当x+10,即x-1时,f(x)≥2(𝑥+1)·4𝑥+1+5=9(当且仅当x=1时等号成立);当x+10,即x-1时,f(x)≤-2(𝑥+1)·4𝑥+1+5=1(当且仅当x=-3时等号成立).所以f(x)=𝑥2+7𝑥+10𝑥+1(x≠-1)的值域为(-∞,1]∪[9,+∞).知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六4.整体代换法应用4若x,y都是正数,且满足4𝑥+16𝑦=1,求x+y的最小值.提示:由于x+y=1·(x+y),故可以将4𝑥+16𝑦=1整体代入,展开之后,再用均值不等式求最小值.解:因为x+y=1·(x+y)=4𝑥+16𝑦(x+y)=20+4𝑦𝑥+16𝑥𝑦≥20+24𝑦𝑥·16𝑥𝑦=36,当且仅当x=12,y=24时,等号成立,所以x+y的最小值为36.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题四不等式恒成立问题恒成立问题,涉及一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,是很综合的一个题型,也是历年高考的一个热点.变量分离法和数形结合的方法比较常用,数形结合的方法较简单.当然还有其他的解决方法,如赋值法、根据对称性等.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六1.一次函数型应用1对于满足|p|≤2的所有实数p,求使关于x的不等式x2+px+1p+2x恒成立的x的取值范围.提示:在不等式中出现了两个字母:x和p,关键在于该把哪个字母看成是变量.本题可将p视作变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.解:原不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:𝑓(-2)0,𝑓(2)0,即𝑥2-4𝑥+30,𝑥2-10,解得𝑥3或𝑥1,𝑥1或𝑥-1,所以x-1或x3.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六2.二次函数型应用2设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,都有f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.提示:题目中要证明f(x)≥a恒成立,若把a移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)内恒大于0的问题,就可以利用函数的图象解决了.解:设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.(1)当Δ=4a2-4(2-a)=4(a-1)(a+2)≤0,即-2≤a≤1时,对一切x∈[-1,+∞),F(x)≥0恒成立;知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(2)当Δ=4(a-1)(a+2)0时,由图可得以下充要条件:得-3≤a-2.综上可得a的取值范围为[-3,1].𝛥≥0,𝐹(-1)≥0,--2𝑎2≤-1,即(𝑎-1)(𝑎+2)≥0,𝑎+3≥0,𝑎≤-1,知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六3.变量分离型应用3对一切实数x,关于x的不等式x4+ax2+1≥0恒成立,求字母a的取值范围.提示:从所给不等式中解出a,再利用均值不等式求解.解:不等式x4+ax2+1≥0可以化为a≥-1-𝑥4𝑥2=-1𝑥2+𝑥2(x≠0).函数f(x)=-1𝑥2+𝑥2≤-2,则a≥-2.若x=0,则a∈R.故a的取值范围是[-2,+∞).知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题五线性规划问题1.二元一次不等式组表示的平面区域的作法是:画线、定侧、取交集.画线要分虚、实线,定侧可用特殊点检验.2.简单的线性规划问题应注意两点:(1)准确作图,尤其注意目标函数所表示的直线与过可行域边界的直线的斜率关系;(2)整数解问题,整数解不一定在可行域边界或顶点上.3.当目标函数不是线性情况时,解决问题的关键是利用图形的直观性,第一,要准确作出可行域;第二,要抓住目标函数z=f(x,y)中z的