2019版高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实际应用课件 新人教B版必修5

-1-3.4不等式的实际应用目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题,能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小,确定范围,求最值等).2.了解如何建立数学模型,体会数学知识和客观实践之间的相互关系,培养良好的数学意识和情感态度.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.例题中的结论若ba0,m0,则𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏.另外,若当ab0,m0时,则有𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏成立.2.利用不等式解决实际问题的步骤(1)设未知数:用字母表示题中的未知量.(2)列不等式(组):找出题中的不等关系,列出关于未知数的不等式(组).(3)解不等式(组):运用不等式知识求解不等式,同时要注意未知数在实际问题中的取值范围.(4)答:规范地写出答案.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航归纳总结在解决实际应用问题时,首先要学会正确地梳理数据,从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础,进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构,构建数学模型,再利用不等式求解,即解实际应用题的思路为:ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二一、解应用题的流程剖析:数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵,而数学应用题多使用自然语言进行叙述,所以,对文字的理解就显得非常重要,要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手:(1)略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等式得出结论等).条件是什么,求解的是什么,涉及哪些基本概念,可以一边阅读一边写下主要内容,或者列表显示主要条件和要求的结论.(2)细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二(3)精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”,即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容,把文字叙述转化为符号或图表,总之,大脑要有灵活的转化思维.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二二、常见的不等式实际应用类型剖析:常见的不等式实际应用问题有以下几种:(1)作差法解决实际问题作差法的依据是a-b0⇔ab,其基本步骤是:①理解题意,准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来.②作差,分析差的符号.③将作差后的结论转化为实际问题的结论.(2)应用均值不等式解决实际问题①均值不等式:a,b0,𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏(当且仅当a=b时,等号成立).若当ab=P(定值)时,则当a=b时,a+b有最小值2𝑃;若当a+b=S(定值)时,则当a=b时,ab有最大值14S2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二②注意利用均值不等式必须有前提条件:“一正、二定、三相等”.为了创造利用均值不等式的条件,常用技巧有配凑因子、拆项或平方.名师点拨在建立不等关系时,一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围,不可盲目使用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三一元二次不等式的实际应用【例1】某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x-3)万元,销售总收入为(2x2-5)万元,如果要保证该企业不亏本,那么至少生产该产品为(百件).解析:要不亏本只需收入不小于成本,即2x2-5-(3x-3)≥0,即2x2-3x-2≥0,解得x≤-或x≥2,而产品件数不能是负数,所以x的最小值为2.答案:212ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三反思利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤:(1)理解题意,弄清量与量之间的关系;(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为一元二次不等式问题;(3)解这个一元二次不等式问题;(4)给出实际问题的答案.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件,问他将销售价每件定为多少元时,才能使得每天所赚的利润最大?销售价定为多少元时,才能保证每天所赚的利润在300元以上?解:设每件提高x元(0≤x≤10),即每件获利润(2+x)元,则每天可销售(100-10x)件,每天获总利润为y元,由题意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200.当x=4时,y取得最大值360.即当售价定为14元时,每天所赚利润最大为360元.要使每天所赚的利润在300元以上,则有-10x2+80x+200300,即x2-8x+100,解得4-6x4+6.故每件定价在(14-6)元到(14+6)元之间时,能确保每天的利润在300元以上.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三利用均值不等式解应用题【例2】某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?分析:每年的保险费、汽油费等是一个定数,关键是每年的维修费逐年递增,构成一个等差数列,只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年,即为平均费用y.列出函数关系式,再求解.解:设汽车使用的年数为x.由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三因此,汽车使用x年总的维修费用为0.2+0.2𝑥2x万元.设汽车的年平均费用为y万元,则有y=10+0.9𝑥+0.2+0.2𝑥2𝑥𝑥=10+𝑥+0.1𝑥2𝑥=1+10𝑥+𝑥10≥1+210𝑥·𝑥10=3.当且仅当10𝑥=𝑥10,即x=10时,等号成立,即y取最小值.答:汽车使用10年时年平均费用最少.反思应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是:(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)写出正确答案.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:km/h)之间有函数关系:(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?分析:(1)实质上是求y的最大值,分子分母同除以v后利用均值不等式.(2)只需解不等式y≥10即可.y=920𝑣𝑣2+3𝑣+1600(v0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三解:(1)y=920𝑣𝑣2+3𝑣+1600=920𝑣+1600𝑣+3≤9202𝑣·1600𝑣+3=92083≈11.08.当v=1600𝑣,即v=40(km/h)时,车流量最大,最大值为11.08(千辆/时).(2)根据题意,有920𝑣𝑣2+3𝑣+1600≥10,化简得v2-89v+1600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,所以25≤v≤64.所以汽车的平均速度应控制在[25,64](km/h)范围内.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三易错辨析易错点:忽视给定参数的大小比较而导致错误【例3】甲、乙两地水路相距skm,一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地,水流速度为常量pkm/h,船在静水中的最大速度为qkm/h(qp).已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水中的速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(单位:元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程燃料费用最少,船的实际前进速度应是多少?ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三错解:(1)依题意,船由甲地到乙地所用的时间为𝑠𝑣-𝑝h,则y=k·v2·𝑠𝑣-𝑝=𝑘𝑠·𝑣2𝑣-𝑝.故所求函数为y=𝑘𝑠·𝑣2𝑣-𝑝,其定义域为v∈(p,q].(2)依题意,k,s,v,p,q均为正数,且v-p0,故有𝑘𝑠·𝑣2𝑣-𝑝=ks·𝑣2-𝑝2+𝑝2𝑣-𝑝=ks𝑣-𝑝+𝑝2𝑣-𝑝+2𝑝≥ks(2p+2p)=4ksp,当且仅当v-p=𝑝2𝑣-𝑝,即v=2p时等号成立.所以当船的实际前进速度为pkm/h时,全程燃料费用最少.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三错因分析:错解中船在静水中的速度v=2pkm/h应不超过qkm/h,事实上2p与q的大小关系并不明确,因此需分2p≤q和2pq两种情况进行讨论.正解:(1)同错解(1).(2)解题过程同错解(2).若2p≤q,则当v=2p时,y取最小值,这时船的实际前进速度为pkm/h.若2pq,当v∈(p,q]时,𝑘𝑠·𝑣2𝑣-𝑝−𝑘𝑠·𝑞2𝑞-𝑝=ks·(𝑞-𝑣)(𝑝𝑞+𝑝𝑣-𝑞𝑣)(𝑣-𝑝)(𝑞-𝑝).∵v-p0,q-p0,q-v≥0,pq+pv-qv≥pv+pv-qv=(2p-q)v0,∴𝑘𝑠·𝑣2𝑣-𝑝≥𝑘𝑠·𝑞2𝑞-𝑝.当且仅当v=q时等号成立,即当v=q时,y取得最小值.此时船的实际前进速度为(q-p)km/h.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOU