2019版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质课件 新人教B版选修2-1

-1-2.2.2椭圆的几何性质目标导航1.掌握椭圆的几何性质.2.掌握椭圆的标准方程中a,b,c,e的几何意义及其之间的相互关系.知识梳理焦点在x轴、y轴上的两类椭圆的几何性质与特征比较:焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(𝑎𝑏0)y2a2+x2b2=1(𝑎𝑏0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长为2a,短轴长为2b焦点(±c,0)(0,±c)知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦距2c(c2=a2-b2)对称性对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点离心率e=ca∈(0,1),其中c=a2-b2名师点拨1.判断曲线关于原点、x轴、y轴对称的依据.若把方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称.若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称.2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点.知识梳理【做一做1】椭圆𝑥29+𝑦236=1的长轴长为()A.5B.3C.6D.12解析:椭圆的长轴长为2a,由方程可知a=6,所以2a=12.答案:D【做一做2】椭圆𝑥225+𝑦29=1的离心率为__________.答案:45重难聚焦椭圆的离心率剖析:(1)椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率.记作e=𝑐𝑎.(2)因为ac0,所以离心率e的取值范围是0e1.离心率的大小对椭圆形状的影响:①当e趋近于1时,c趋近于a,从而b=𝑎2-𝑐2越小,因此椭圆越扁平;②当e趋近于0时,c趋近于0,从而b趋近于a,因此椭圆越接近于圆.椭圆与圆是两种不同的曲线,因此椭圆的离心率满足不等式0e1.当e=0时,曲线为圆.典例透析题型一题型二题型三利用椭圆的方程研究其几何性质【例1】分别求出椭圆25x2+16y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.分析:把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素a,b,c,即可求出答案.解:将椭圆方程变形为𝑦225+𝑥216=1,由方程知a=5,b=4,所以c=3,所以长轴长为10,短轴长为8.离心率e=𝑐𝑎=35,焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),顶点坐标为A1(0,-5),A2(0,5),B1(-4,0),B2(4,0).反思已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,找准a与b,求出c,才能正确地得出椭圆的有关性质.典例透析题型一题型二题型三利用椭圆的几何性质求椭圆的方程【例2】已知𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎0,𝑎≠1)表示离心率为12的椭圆,求椭圆的标准方程.分析:椭圆的焦点不知在哪个坐标轴上,故需要分两种情况来讨论,再由e=12即可求得.解:当焦点在x轴上,即a1时,由题意,得c=𝑎2-1,所以𝑎2-1𝑎=12,解得a2=43,所以椭圆的标准方程为3𝑥24+𝑦2=1;典例透析题型一题型二题型三当焦点在y轴上,即0a1时,由题意得c=1-𝑎2,所以1-𝑎21=12,解得a2=34.所以椭圆的标准方程为4𝑥23+𝑦2=1.故椭圆的标准方程为3𝑥24+𝑦2=1或4𝑥23+𝑦2=1.反思在求椭圆的标准方程时,首先要分清焦点在哪个坐标轴上,然后利用条件求出a2.本题所给方程中的a与椭圆标准方程中的a不同.典例透析题型一题型二题型三椭圆几何性质的应用【例3】已知椭圆的中心在原点,离心率为22,𝐹为左焦点,𝐴为右顶点,𝐵为短轴一顶点,求∠ABF的余弦值.分析:已知离心率为22,即𝑐𝑎=22,即a=2𝑐.再由a,b,c的关系可得b=c.在△ABF中,由余弦定理可求得结果.解:设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则有𝑐𝑎=22,即a=2𝑐.∵b2=a2-c2,∴b=c.∴|AB|=𝑎2+𝑏2=3𝑐,|𝐵𝐹|=𝑎=2𝑐,|AF|=a+c=(2+1)𝑐,∴cos∠ABF=|𝐴𝐵|2+|𝐵𝐹|2-|𝐴𝐹|22|𝐴𝐵|·|𝐵𝐹|=6-236.典例透析123451.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标为()A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(−6,0),(6,0)D.(0,−6),(0,6)答案:D6典例透析123452.椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦29=1有()A.相同的短轴B.相同的长轴C.相同的离心率D.坐标相同的两个顶点答案:D6典例透析123453.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为13,长轴长为12,则椭圆的标准方程是()A.𝑥24+𝑦26=1B.𝑥26+𝑦24=1C.𝑥236+𝑦232=1或𝑥232+𝑦236=1D.𝑥232+𝑦236=1解析:由题意可知焦点在x轴或在y轴上,所以标准方程有两个.而2a=12,所以a=6.又因为𝑐𝑎=13,所以c=2,b2=32,所以椭圆的标准方程是𝑥236+𝑦232=1或𝑥232+𝑦236=1.答案:C6典例透析123454.已知P是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)上的一动点,且𝑃与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为−12,则椭圆的离心率为()A.32B.22C.12D.33解析:设P(x0,y0),则𝑦0𝑥0-𝑎·𝑦0𝑥0+𝑎=−12,化简得𝑥02𝑎2+2𝑦02𝑎2=1.又因为P在椭圆上,所以𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1,所以a2=2b2,故所求离心率为22.答案:B6典例透析123455.已知椭圆𝑥25+𝑦2𝑚=1的离心率𝑒=105,则𝑚的值为__________.解析:若m5,则5-𝑚5=105,解得m=3.若m5,则𝑚-5𝑚=105,解得m=253.故m的值为3或253.答案:3或2536典例透析1234566.已知椭圆的焦点在坐标轴上,且椭圆过点(3,0),离心率e=63,求椭圆的标准方程.分析:应用待定系数法,列出关于a,b,c的方程组再求解.解:当椭圆的焦点在x轴上时,因为a=3,𝑐𝑎=63,所以c=6,从而b2=a2-c2=9-6=3,所以椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦23=1.当椭圆的焦点在y轴上时,因为b=3,𝑐𝑎=63,所以𝑎2-𝑏2𝑎=63,所以a2=27,所以椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦227=1.故所求椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦23=1或𝑥29+𝑦227=1.典例透析