2019版高中数学 第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线 2.2.1 球的切线与切平面 2.2.2 圆柱面的

-1-2.2用内切球探索圆锥曲线的性质-2-2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解球的切线的定义及其性质.2.掌握球的切平面的定义及其性质.3.会判断平面截立体图形所产生的截面的形状.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.球的切线定义:与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线.性质:球的切线垂直于过切点的半径.若球的切线通过球外一点P,切点为A,则称线段PA的长为从点P引的球的切线长.球的切线长性质:从球外任一点引该球的所有切线长相等.2.球的切平面定义:与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面.性质:一个球的切平面,垂直于过切点的半径.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.圆柱面的内切球如图,在圆柱面的轴上任取一点C,过C作垂直于轴的平面δ,则平面δ在圆柱面上的截线是☉(C,r).以C为球心,r为半径作球,则☉(C,r)也是球与圆柱面所有公共点的集合.在☉(C,r)上任取一点H,则CH与过点H的母线垂直.过球半径的外端与该球半径垂直的直线,都是球的切线,于是圆柱面的每一条母线都与球相切,易证,所有切点的集合是半径为r的圆,此圆称做切点圆.这时,我们说圆柱面与球面相切,该球叫做圆柱面的内切球.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航4.圆柱面的平面截线若平面δ与圆柱面的轴线垂直,则平面δ截圆柱面所得的截线是一个圆,此时称δ平面为圆柱面的直截面.若平面σ与圆柱面的轴线所成的角为锐角,则平面σ截圆柱面所得的截线是椭圆,此时称平面σ为斜截面.5.椭圆(1)定义:在一个平面内,到两个定点距离和等于定长(大于两定点的距离)的点的轨迹,叫做椭圆.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)组成元素:如图,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫做椭圆的长轴,B1B2叫做椭圆的短轴,F1F2叫做椭圆的焦距.如果长轴为2a,短轴为2b,那么焦距2c=.2𝑎2-𝑏2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(3)如图,设一平面σ与圆柱面轴线所成的角为α(0°α90°),截得的曲线记为m.如图,取半径等于圆柱面内切球半径r的两个球,从平面σ的上方或下方放入圆柱面内(这两个球为圆柱面的两个内切球),并使它们分别与平面σ相切,设切点分别为F1和F2.在截线m上任取一点M,连接MF1和MF2;过点M作圆柱面的母线,分别与两个球相切于点P1和P2.MP1和MF1,MP2和MF2分别都是同一点引同一球的两条切线,所以MP1=MF1,MP2=MF2,MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2.由于P1P2的长与点M的选择无关,所以对曲线m上任一点M,到两个切点的距离和等于定长(P1P2的长).在平面σ内,除曲线m上的点外,其他各点都不具有上述性质.故上述性质是椭圆的一个特征性质.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】已知F1和F2是椭圆的焦点,P是椭圆上的任一点,PF1=d1,PF2=d2,则()A.d1+d2是常数B.d1-d2是常数C.d1d2是常数答案:A【做一做2】已知椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则焦距等于()A.6B.8C.10D.3解:析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则由题意,知2a=10,2b=8,答案:A故a=5,b=4,即2c=2𝑎2-𝑏2=6.D.𝑑1𝑑2是常数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航Dandelin双球探求椭圆性质的过程剖析通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形,类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形,从而得到有关结论,因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究,这有助于理解椭圆和下一节的知识.圆柱内嵌入两个球,使它们分别位于斜截面的上方和下方,并且与圆柱和斜截面均相切,这是研究椭圆性质的关键.这种方法是数学家Dandelin创立的,故将嵌入的两球称为Dandelin双球.要注意对于Dandelin双球的研究.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型题型探讨椭圆的性质【例】如图,已知球O1,O2分别切平面β于点F1,F2,P1P2为☉O1的一条直径,Q1,Q2分别为P1,P2在平面β内的平行投影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2垂直平分,求证:F1F2=2𝑎2-𝑏2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型证明如图,过G1作G1H⊥BG2,H为垂足,则四边形ABHG1是矩形.∴G1H=AB.∵Q1,Q2分别是P1,P2的平行投影,∴P1Q1􀱀P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形.∴Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径.∴G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理,知G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,∴G2F1-G2F2=G2B-G1A.又G1A=BH,∴G2F1-G2F2=G2B-BH.∴F1F2=G2H.在Rt△G1G2H中,G2H=𝐺1𝐺22-𝐺1𝐻2=(2𝑎)2-(2𝑏)2=2𝑎2-𝑏2,故F1F2=2𝑎2-𝑏2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型反思探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质,要仔细考查Dandelin双球与圆柱及其截平面的关系,综合地应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形以及平行投影的性质等.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是()解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,答案:DA.15B.34C.33D.12由a=2c,得𝑐𝑎=12,即e=12.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.两个圆柱的底面半径分别为R,r(Rr),平面π与它们的母线的夹角分别为α,β(αβ90°),斜截口椭圆的离心率分别为e1,e2,则()A.e1e2B.e1e2C.e1=e2D.无法确定解析:∵e1=cosα,e2=cosβ,又当αβ90°时,cosαcosβ,∴e1e2.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱的斜截口的离心率为12,则椭圆的长半轴长是()A.2B.4C.163D.433解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.由题意,知b=2,𝑐𝑎=𝑎2-𝑏2𝑎=12,则𝑎2-4𝑎=12,解得a=433.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.已知椭圆的离心率e=45,焦距为8,则椭圆的长轴长为.解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则由题意,知2c=8,故c=4.答案:10又e=𝑐𝑎,故长轴长2a=2𝑐𝑒=845=10.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航