2019版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和课件 新人教B版必修5

-1-2.3.2等比数列的前n项和目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.理解等比数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等比数列的前n项和公式,并能用它解决有关等比数列问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式Sn=na1(q=1)a1(1-qn)1-q(q≠1)Sn=na1(q=1)a1-anq1-q(q≠1)名师点拨1.在求等比数列{an}的前n项和公式时,应分q=1和q≠1两种情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论.2.等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量,即a1,an,q,n,Sn,通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为“知三求二”.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1-1】在等比数列{an}中,已知公比q=-2,S5=44,则a1的值为()A.4B.-4C.2D.-2解析:由题意,知q≠1,故有S5=44=.将q=-2代入解得a1=4.答案:A【做一做1-2】若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.解析:根据等比数列的性质,得a3+a5=q(a2+a4),所以q=2.又a2+a4=a1q+a1q3,故求得a1=2,所以Sn==2n+1-2.答案:22n+1-2𝑎1(1-𝑞5)1-𝑞2(1-2𝑛)1-2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.等比数列前n项和的常用性质(1)在公比为q(q≠-1)的等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则依次每k项的和构成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等比数列,其公比为qk.(2)在等比数列{an}中,若项数为2n,公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.(3)数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sn+qn·Sm.【做一做2】已知等比数列{an},Sn是其前n项和,且S3=7,S6=63,则S9=.答案:511𝑆偶𝑆奇ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三一、错位相减法的实质及应用剖析:(1)用错位相减法求等比数列前n项和的实质是把等式两边同乘公比q,得一新的等式,错位相减求出Sn-qSn,这样可以消去大量的“中间项”,从而能求出Sn.当q=1时,Sn=na1,当q≠1时,Sn=.这是分段函数的形式,分段的界限是q=1.(2)对于形如{xnyn}的数列的和,其中数列{xn}为等差数列,数列{yn}为等比数列,可以用错位相减法求和.错位相减法实际上是把一个数列的求和问题转化为等比数列的求和问题.(3)利用这种方法时,要注意对公比的分类讨论.𝑎1-𝑎1𝑞𝑛1-𝑞ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三二、等比数列的前n项和公式的推导(首项为a1,公比q≠1)剖析:除了书上用到的错位相减法之外,还有以下方法可以求等比数列的前n项和.(1)等比性质法∵𝑎2𝑎1=𝑎3𝑎2=𝑎4𝑎3=…=𝑎𝑛𝑎𝑛-1=q,∴𝑎2+𝑎3+𝑎4+…+𝑎𝑛𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛-1=q,即𝑆𝑛-𝑎1𝑆𝑛-𝑎𝑛=q,解得Sn=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三(2)拆项法Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1),∴Sn=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+q(Sn-an).解得Sn=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三三、教材中的“?”例2有别的解法吗?将这个数列的前8项倒过来排,试一试.剖析:∵S8=27+26+25+…+2+1,∴S8=1+2+22+…+26+27==28-1=255.此题说明在等比数列{an}中,若为有限项,如a1,a2,…,an,则an,an-1,…,a2,a1也是等比数列,其公比为原数列公比的倒数.1×(1-28)1-2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五等比数列的前n项和公式的应用【例1】在等比数列{an}中,(1)已知a1=3,q=2,求a6,S6;(2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4;(3)已知a3=32,S3=92,求a1,q.分析:在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个,就可以求出其他两个.解:(1)a6=a1q5=3×25=96.S6=𝑎1(1-𝑞6)1-𝑞=3×(1-26)1-2=189.(2)∵a4=a1q3,∴64=-q3.∴q=-4.∴S4=𝑎1-𝑎4𝑞1-𝑞=-1-64×(-4)1-(-4)=51.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(3)由题意,得𝑎3=𝑎1𝑞2=32,①𝑆3=𝑎1(1+𝑞+𝑞2)=92,②②①,得1+𝑞+𝑞2𝑞2=3,所以2q2-q-1=0,所以q=1或q=-12.当q=1时,a1=32;当q=-12时,a1=6.反思在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素;有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组来求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)灵活运用等比数列的有关性质;(3)在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】在等比数列{an}中,(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5;(3)若q=2,S4=1,求S8.54解:(1)由Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞,an=a1qn-1以及已知条件得189=𝑎1(1-2𝑛)1-2,96=𝑎1·2𝑛-1,∴a1·2n=192,∴2n=192𝑎1.∴189=a1(2n-1)=a1192𝑎1-1,∴a1=3.又2n-1=963=32,∴n=6.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(2)设公比为q,由通项公式及已知条件得𝑎1+𝑎1𝑞2=10,𝑎1𝑞3+𝑎1𝑞5=54,即𝑎1(1+𝑞2)=10,①𝑎1𝑞3(1+𝑞2)=54.②∵a1≠0,1+q2≠0,∴由②①,得q3=18,即q=12,∴a1=8.∴a4=a1q3=8×123=1,S5=𝑎1(1-𝑞5)1-𝑞=8×1-1251-12=312.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(3)方法一:设首项为a1,∵q=2,S4=1,∴𝑎1(1-24)1-2=1,即a1=115,∴S8=𝑎1(1-𝑞8)1-𝑞=115(1-28)1-2=17.方法二:∵S4=𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞=1,且q=2,∴S8=𝑎1(1-𝑞8)1-𝑞=𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞(1+q4)=S4(1+q4)=1×(1+24)=17.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三等比数列前n项和性质的应用【例2】在各项均为正数的等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,求S30.分析:可以利用解方程组解决,也可以利用等比数列的前n项和的性质来解决.由已知条件可列出方程组10=𝑎1(1-𝑞10)1-𝑞,①30=𝑎1(1-𝑞20)1-𝑞,②由②①,得1+q10=3,所以q10=2.所以S30=𝑎1(1-𝑞30)1-𝑞=𝑎1(1-𝑞10)1-𝑞(1+q10+q20)=10×(1+2+4)=70.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三方法二:由性质Sm+n=Sn+qn·Sm,得S20=S10+q10S10,即30=10+10q10,所以q10=2.所以S30=S20+q20S10=30+40=70.方法三:运用性质Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等比数列.因为S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,而S10=10,S20=30,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(30-10)2=10×(S30-30).所以S30=70.反思由于等比数列中,无论是通项公式还是前n项和公式,均与q的若干次幂有关,所以在解决等比数列问题时,经常出现高次方程,为达到降幂的目的,在解方程组时经常利用两式相除,达到整体消元的目的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比q=,项数n=.解析:方法一:设该等比数列的公比为q,项数为2n,则有S偶=q·S奇,∴q=17085=2.又S2n=S偶+S奇=𝑎1(1-𝑞2𝑛)1-𝑞=85+170,∴22n-1=255,∴2n=8,故这个数列的公比为2,项数为8.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三方法二:设该等比数列的公比为q,项数为2n,则奇数项和偶数项也分别成等比数列,公比均为q2.∴𝑎1[1-(𝑞2)𝑛]1-𝑞2=85,𝑎1𝑞[1-(𝑞2)𝑛]1-𝑞2=170,∴q=2,n=4,∴这个数列的公比为2,项数为8.答案:28ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五某些特殊数列的求和【例3】(1)已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn;(2)已知