2019版高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性课件 新人教B版必修1

-1-2.1.3函数的单调性ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性.2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间.3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.函数单调性的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x10,则当Δy=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图①所示.①ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12当Δy=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图②所示.②如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12名师点拨1.单调性是函数的一个局部性质,即函数的单调性是该函数在其定义域内的某个子区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个非空真子集.2.函数单调区间的写法(1)如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”);(2)因为函数的单调性反映函数图象的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性.因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123.函数单调性定义的逆用(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2;(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航解析:对于反比例函数(k≠0),当k0时,在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k0时,在区间(-∞,0)内是增函数,在区间(0,+∞)内也是增函数.答案:D12【做一做1-1】关于函数y=2𝑥的单调性的表述正确的是()y=𝑘𝑥A.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数B.在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数C.在[0,+∞)内是减函数D.在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-2】函数f(x)在R上是减函数,则有()A.f(3)f(5)B.f(3)≤f(5)C.f(3)f(5)D.f(3)≥f(5)解析:因为函数f(x)在R上是减函数,35,所以f(3)f(5).答案:C【做一做1-3】若函数f(x)的定义域是(-4,4],其图象如图所示,则其单调递增区间是,单调递减区间是.答案:[-3,1](-4,-3)和(1,4]ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x10;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断Δy的正、负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2】证明函数f(x)=2016𝑥+1在(-1,+∞)上是减函数.证明:设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个不相等的实数,且x1x2,则Δx=x2-x10,Δy=f(x2)-f(x1)=2016𝑥2+1−2016𝑥1+1=2016(𝑥1-𝑥2)(𝑥2+1)(𝑥1+1).∵-1x1x2,∴x1+10,x2+10,x1-x20,∴Δy0.∴f(x)=2016𝑥+1在(-1,+∞)上是减函数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航一、正确理解单调性的定义剖析:(1)第一关键——“定义域内”.研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的子集.函数y=x2的定义域为R,但函数y=x2在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)内是增函数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)第二关键——“某个区间”.增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为这时没有一种可比性,没突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数.这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-∞,+∞)内是增函数,y=-2x在整个定义域(-∞,+∞)内是减函数;也可以是定义域的真子集,例如y=x2+1在定义域(-∞,+∞)内不具有单调性,但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)内是增函数;还有一些函数不具有单调性,例如函数y=1,𝑥为有理数,0,𝑥为无理数,它的定义域为R,不具有单调性.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(3)别忽视“任意”和“都有”.在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要x1x2,f(x1)就必须都小于f(x2),或f(x1)就必须都大于f(x2).对“任意”二字不能忽视,我们可以构造一个反例,在区间[-2,2]上考察函数y=x2,如果取两个特定的值x1=-2,x2=1,显然x1x2,而f(x1)=4,f(x2)=1,有f(x1)f(x2),若由此判定y=x2在[-2,2]上是减函数,那就错了.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航同样地,理解“都有”,我们也可以举例说明,y=x2在[-2,2]上,当x1=-2,x2=-1时,有f(x1)f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)f(x2).从上例我们可以看到对于x1x2,f(x1)并没始终小于(或者大于)f(x2),因此就不能说y=x2在[-2,2]上是增函数或减函数.对函数单调性的定义,为了方便也可改为如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,总有𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2()0,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二、关于函数单调性的判断剖析:(1)常见函数的单调性①一次函数y=kx+b,当k0时,在(-∞,+∞)内是增函数;当k0时,在(-∞,+∞)内是减函数;②反比例函数k0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数;当k0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是增函数.(2)判断函数单调性的常用方法①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值——作差——变形——判断符号——下结论”的步骤进行;②图象法:画出函数的图象,根据图象的上升、下降的情况判断函数的单调性.y=𝑘𝑥,当ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(3)关于函数单调性的常用结论①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;②函数y=f(x)+c(c为常数)与y=f(x)的单调性相同;③函数y=cf(x),当c0时,与y=f(x)的单调性相同;当c0时,与函数y=f(x)的单调性相反;④若f(x)在区间D上恒为正数或恒为负数,且具有单调性,⑥在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.则在区间D上y=1𝑓(𝑥)的单调性与y=f(x)相反;⑤若f(x)≥0,则y=𝑓(𝑥)的单调性与y=f(x)相同;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(4)复合函数单调性的判断对于复合函数y=f(g(x)),如果t=g(x)在(a,b)内单调递增(减),并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))内是单调函数,那么y=f(g(x))在(a,b)内的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航三、教材中的“探索与研究”研究一个函数在某区间上是增函数还是减函数时,你能否根据函数的平均变化率即比值Δ𝑦Δ𝑥的符号来判断函数y=f(x)在某区间上是增函数还是减函数?比值Δ𝑦Δ𝑥的大小与函数值增长的快慢有什么关系?ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航剖析:(1)用比值Δ𝑦Δ𝑥的符号可以判断函数y=f(x)在某区间上的单调性.函数y=f(x)在x1与x2之间的平均变化率记为Δ𝑦Δ𝑥=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1.①若Δ𝑦Δ𝑥0,则有Δ𝑦0,Δ𝑥0或Δ𝑦0,Δ𝑥0.当Δx0,Δy0时,符合增函数的定