2019-2020学年九年级数学下册 第24章 圆 24.3 圆周角教学课件 （新版）沪科版

教学课件数学九年级下册沪科版第24章圆24.3圆周角第1课时复习引课1.圆心角的定义?.OBC答：在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有其中的一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。答:顶点在圆心的角叫圆心角。2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ABC一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.如图，∆ABC内接于⊙O，这时∠A的定点在圆上，∠A的两边AB,AC分别与圆还有另一个公共点.像这样，定点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.类比圆心角探知圆周角•在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.〉在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系.你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?圆周角和圆心角的关系教师提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部．•如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.●OABC●OABC●OABC我们得到以下几种情况.①∠ABC的一边BC经过圆心O。②∠ABC的两边都不经过圆心O。③∠ABC的两边都不经过圆心O。BAOC①ABCO②BACO③请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O.BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC.1-2那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ABCOBACO我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑.也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D.（此时我们得到与图①同样的情形）.1212ABCOD132BAOC①54512142AOCABC21∵∠1是△ABO的外角，∴∠1=∠2+∠3.∵OA=OB，∴∠2=∠3.∴∠1=2∠2.BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D.21AODABD∵∠AOD是△ABO的外角,∴∠AOD=∠A+∠ABO.∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.∴∠AOD=2∠ABD,如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）BACOBAOC①D∵∠AOD是△ABO的外角,∴∠ABD=∠A+∠ABO.∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.∴∠AOD=2∠ABD,.21AODABDBACOBAOC①如图，连接BO并延长，与圆O相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）DAOCABCCODAODCBDABDCODCBD21.21同理，∵∠AOD是△ABO的外角,∴∠ABD=∠A+∠ABO.∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.∴∠AOD=2∠ABD,.21AODABD通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？BAOCABCOBACO一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。一半由定理可得推论1在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等（图24-36）.推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径（图24-37）.例1如图24-38，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数.解：连接BC，则∠ACB=90°,∠DCB=∠ACB-∠ACD=30°.∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°.分析：∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和.又∵∠BAD=∠DCB=30°，AOCB1.如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=。25°变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=。ABCO变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=。50°80°如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ABCO解：∠ACB=2∠BAC.理由:∵∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠BOC,∴2∠ACB=2（2∠BAC）.∴∠ACB=2∠BAC.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。第2课时复习巩固ABCO1.如图，∠BOC是角，∠BAC是角.若∠BOC=80°，∠BAC=.圆心圆周40°2.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO=65°，则∠BCA=（）A.25°B.32.5°C.30°D.45°ABCOA1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ABCOD解：∠BAD与∠BCD互补。∵AC为直径，∴∠ABC=90°,∠ADC=90°。∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°。∴∠BAD与∠BCD互补。一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图24-39，四边形ABCD内接于⊙O，这时，它的每一个角都成为圆周角.利用圆周角定理，我们来研究圆内接四边形的角之间的关系.ABCODE图24-39定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.例在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比是2:3:6，求这个四边形各角的度数.解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x°,3x°,6x°.∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.∵四边形ABCD内接于圆，∵2x+6x=180°，∴x=22.5°.∴∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=180°-67.5°=112.5°.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）.∵∠A:∠C=4:5，∴.即∠C的度数为100°.18095C1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.ABCOD解：∵∠BOD=80°，∴.（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠BCD=180°.∴∠BCD=180°-40°=140°（圆内接四边形的对角互补）.4021BODDAB2.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ABCO解：∠ACB=2∠BAC.理由:∵∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠BOC,∴2∠ACB=2（2∠BAC）,∴∠ACB=2∠BAC.1.要理解圆周角定理的推论.2.构造直径所对的圆周角是解答圆中问题的常用方法.3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁，如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.