2019-2020学年高中数学 第一章 统计案例 2 独立性检验 2.1 条件概率与独立事件课件 北

-1-§2独立性检验-2-2.1条件概率与独立事件目标导航1.了解条件概率的概念,会用条件概率公式求解简单的实际问题.2.理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式.知识梳理1.条件概率概念求已知B发生的条件下,A发生的概率,称为B发生时A发生的条件概率记法P(A|B)公式当P(B)0时,P(A|B)=P(A⋂B)P(B)=P(AB)P(B)名师点拨1.P(A|B)是指在B发生的条件下,A发生的概率,B发生是前提.2.P(A|B)中事件A研究的对象不是全体,而是事件B所包含的对象.知识梳理【做一做1】已知P(B|A)=35,𝑃(𝐴)=45,则𝑃(𝐴𝐵)=()A.34B.43C.1225D.625解析:由条件概率公式P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴),知P(AB)=P(B|A)P(A).∵P(B|A)=35,𝑃(𝐴)=45,∴P(AB)=P(B|A)P(A)=35×45=1225.答案:C知识梳理【做一做2】下列说法正确的是()A.P(B|A)P(AB)B.C.0P(B|A)1D.P(A|A)=0P(B|A)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴)是可能的解析:由条件概率公式P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)及0P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB),故A选项错误;当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴),故B选项正确;由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误.故应选B.答案:B知识梳理2.相互独立事件(1)对于两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.(2)如果A,B相互独立,则A与𝐵,𝐴与𝐵,𝐴与𝐵也相互独立.如果A,B相互独立,则有(3)若A1,A2,…,An相互独立,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).P(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴)[1−𝑃(𝐵)],P(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=[1−𝑃(𝐴)]𝑃(𝐵),P(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=[1−𝑃(𝐴)][1−𝑃(𝐵)].知识梳理名师点拨比较相互独立事件与互斥事件互斥事件相互独立事件概念在一次试验中,不可能同时发生的两个事件叫互斥事件对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.也就意味着事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响符号互斥事件A,B中有一个发生记作:A+B相互独立事件A,B同时发生记作:AB计算公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)知识梳理【做一做3】已知甲、乙两人投球命中率分别为12,25,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为()A.12B.25C.15D.910解析:P=P(甲乙)+𝑃(甲乙)=12×35+12×25=12.答案:A知识梳理【做一做4】已知两个事件A,B相互独立,且P(A)=12,𝑃(𝐵)=23,则𝑃(𝐴𝐵)=____________,𝑃(𝐴𝐵)=.解析:已知A,B相互独立,∵P(A)=12,∴P(𝐴)=1−12=12.∵P(B)=23,∴𝑃(𝐵)=1−23=13.∴P(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=12×13=16,∴P(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=12×13=16.答案:1616典例透析题型一题型二题型三题型四条件概率的计算【例1】一个口袋内装有2个白球和2个黑球,且这些球除颜色差异外,其他均相同.(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个球,是白球的概率是多少?(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个球,是白球的概率是多少?典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)设“先摸出1个白球”为事件A,“先摸出的球不放回,再摸出1个白球”为事件B,则P(A)=24=12,𝑃(𝐴𝐵)=2×14×3=16.所以P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=13.故先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率为13.(2)由(1)知“先摸出1个白球”为事件A,设“先摸出的球放回后,再摸出1个白球”为事件B1,则P(A)=24=12,𝑃(𝐴𝐵1)=2×24×4=14.所以P(B1|A)=𝑃(𝐴𝐵1)𝑃(𝐴)=1412=12.故先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率为12.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求条件概率一般有两种方法:一是对于古典概型类题目,可采用缩减基本事件总数的办法来计算,P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴),其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数,n(A)表示事件A包含的基本事件个数.二是直接根据定义计算,P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴),特别要注意P(AB)的求法.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】一个盒子中有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取一支,第一次取后不放回.求若第一支是好的,则第二支也是好的的概率.解:设Ai={第i支是好的}(i=1,2).由题意知要求的是P(A2|A1).因为P(A1)=610=35,𝑃(𝐴1𝐴2)=6×510×9=13,所以P(A2|A1)=𝑃(𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴1)=59.故第一支是好的,第二支也是好的的概率为59.典例透析题型一题型二题型三题型四独立事件的判断【例2】一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩.分析:写出家庭中有两个或三个小孩的所有可能情形,并求出相应概率,再结合相互独立事件的概念进行判定.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)记有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率各为14.这时A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},于是P(A)=12,𝑃(𝐵)=34,𝑃(𝐴𝐵)=12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.(2)记有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},由等可能性知这8个基本事件的概率均为18,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.于是P(A)=68=34,𝑃(𝐵)=48=12,𝑃(𝐴𝐵)=38,显然有P(AB)=P(A)P(B)成立,从而事件A与B是相互独立的.典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.利用相互独立事件的定义(即P(AB)=P(A)·P(B))可以准确地判断两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法判断,因此我们必须熟练掌握.2.判断两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】从一副扑克牌(去掉大王、小王,共52张)中任抽一张,设A={抽得老K},B={抽得红牌},判断事件A与B是否相互独立.解:抽到老K的概率P(A)=452=113,抽到红牌的概率P(B)=2652=12,故P(A)P(B)=113×12=126.事件AB为“既抽得老K又抽得红牌”,亦即“抽得红桃老K或方块老K”,故P(AB)=252=126,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B相互独立.典例透析题型一题型二题型三题型四独立事件的概率【例3】设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别是多少?(2)计算在这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.分析:(1)利用方程的思想建立方程组,求得甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率.(2)利用间接法,先求出三台机器都不需要照顾的概率,再用P(A)=1-P(𝐴)计算需要照顾的概率.典例透析题型一题型二题型三题型四解:记“机器甲需要照顾”为事件A,“机器乙需要照顾”为事件B,“机器丙需要照顾”为事件C.由题意,各台机器是否需要照顾相互之间没有影响,因此,A,B,C是相互独立事件.(1)由已知得P(AB)=P(A)P(B)=0.05,P(AC)=P(A)P(C)=0.1,P(BC)=P(B)P(C)=0.125,解得P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5.所以甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别是0.2,0.25,0.5.典例透析题型一题型二题型三题型四反思已知事件A、事件B、事件C为相互独立事件,则𝐴,𝐵,𝐶也为相互独立事件,即P𝐴𝐵𝐶=𝑃𝐴·P𝐵·P𝐶=1−𝑃𝐴[1−𝑃(𝐵)][1−𝑃(𝐶)].对于相互独立事件至少有一个发生,常转化为对立面即都不发生来求解.(2)记A的对立事件为𝐴,𝐵的对立事件为𝐵,𝐶的对立事件为𝐶,则P(𝐴)=0.8,𝑃(𝐵)=0.75,𝑃(𝐶)=0.5,于是所求概率P=1-P(𝐴𝐵𝐶)=1−𝑃(𝐴)·P(𝐵)·P(𝐶)=0.7.所以在这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】甲射击击中目标的概率是12,乙射击击中目标的概率是13,丙射击击中目标的概率是14,现在三人同时射击目标,求目标被击中的概率.解:设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“丙击中目标”为事件C,“目标未被击中”为事件𝐴𝐵𝐶,由于事件A,B,C相互独立,则目标被击中的概率为1-P(𝐴𝐵𝐶)=1-P(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1−1-12×1-13×1-14=34,即目标被击中的概率为34.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点对相互独立事件理解不够致误【例4】现有5个大小相同的零件,其中有3个次品,2个正品,从中任取2个.令A={恰好取到1个次品},令B={至少取到1个次品},求P(AB).错因分析:因为事件A:恰好取到1个次品,事件B:至少取到1个次品,所以AB为“恰好取到1个次品”,即P(AB)=P(A)≠P(A)P(B),故A,B不独立,不能使用P(AB)=P(A)P(B)来计算P(AB).错解设正品为a1,a2,次品为b1,b2,b3.从5个零件中任取2个的所有取法有:a1a2,a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,b1b2,b1b3,b2b3,共10种,则P(A)=610=35,𝑃(𝐵)=910.所以P(AB)=P(A)P(B)=35×910=2750.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:由题意可知,P(AB)=P(A)=35.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】一个坛子中放有3个白球,2个黑球,这些球除颜色差异外,其他均相同,从中进行不放回的摸球试验,用事件A1表示第一次摸得白球,事件A2表示第二次摸得白球,则A1与A2是()A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件解析:若事件A1发生,则P(A2)=24=12,若事件A1不发生,则P(A2)=34,两种情况之下,事件A2发生的概率不相等,从而可知事件A1与A2不相互独立.答案:D123451.有n名同学参加某项选拔测试,每名同学能通过测试的概率都是p(0p1),假设每名同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一名同学能通过测试的概率为()A.(1-p)nB.1-pnC