2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课件 新人教A版必修1

1.3.2奇偶性1.了解奇函数、偶函数的定义,明确定义中“任意”两字的意义.2.了解奇函数、偶函数的图象特征.3.会用定义判断函数的奇偶性.1.偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称名师点拨1.奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数;因为f(-x)与f(x)有意义,所以-x与x同时属于定义域,即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.2.函数f(x)是偶函数⇔对定义域内任意一个x,有f(-x)-f(x)=0⇔f(x)的图象关于y轴对称.3.函数f(x)是奇函数⇔对定义域内任意一个x,有f(-x)+f(x)=0⇔f(x)的图象关于原点对称.【做一做1-1】若函数y=f(x),x∈[-1,a](a-1)是奇函数,则a等于()A.-1B.0C.1D.无法确定答案:C【做一做1-2】下列函数是偶函数的是()A.y=2xB.y=2x2+3C.y=−5𝑥D.𝑦=𝑥2,𝑥∈[0,1]解析:由偶函数的定义知,y=2x2+3是偶函数.答案:B2.奇偶性定义如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性图象特征图象关于原点或y轴对称归纳总结基本函数的奇偶性如下:函数奇偶性正比例函数(y=kx,k≠0)反比例函数y=kx,k≠0奇函数一次函数(y=kx+b,k≠0)b=0奇函数b≠0非奇非偶函数二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)b=0偶函数b≠0非奇非偶函数【做一做2-1】下列图象表示的函数中,具有奇偶性的是()解析:图象关于原点对称时,函数为奇函数;图象关于y轴对称时,函数为偶函数.从而判断选项B正确.答案:B【做一做2-2】若函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m=.答案:0理解函数的奇偶性剖析函数f(x)的奇偶性的定义是用f(-x)=±f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的;函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的局部性质,而奇偶性是函数的整体性质.只有对函数f(x)的定义域内的每一个值x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),才能说f(x)为偶函数或奇函数;定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”成立,其前提为f(-x)和f(x)都有意义,所以-x也属于f(x)的定义域,即自变量x的取值范围要关于原点对称,于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集,这是函数存在奇偶性的前提.例如将函数f(x)=x2+1,f(x)=x的定义域分别限定为(0,+∞)与(-3,3],则它们都为非奇非偶函数;函数奇偶性的定义中的等式f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))是其定义域上的恒等式,而不是对部分x成立.如:函数f(x)=1,|𝑥|≤1,𝑥+1,|𝑥|1,尽管当|x|≤1时,都有f(-x)=f(x),但当|x|1时,f(-x)≠f(x),所以它不是偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2𝑥2+2𝑥𝑥+1;(2)𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥;(3)f(x)=𝑥4+𝑥2+1.分析:先求出定义域,再判断f(-x)与f(x)的关系.解:(1)因为函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)因为函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-𝑥)4+(-𝑥)2+1=𝑥4+𝑥2+1=𝑓(𝑥),所以f(x)是偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五反思判断函数的奇偶性的方法:(1)定义法:(2)图象法:如果函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均对称,那么这个函数既是奇函数又是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均不对称,那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数.用以上方法讨论函数的奇偶性时,要遵循定义域优先的原则.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2+1,x∈[-2,2);(2)f(x)=|x-1|+|x+1|;(3)f(x)=0,x∈R.解:(1)∵f(x)的定义域[-2,2)不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x),∴f(x)为偶函数.(3)∵f(x)=0,x∈R,∴f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五奇(偶)函数的图象问题【例2】已知函数f(x)=1𝑥2+1在区间[0,+∞)内的图象如图所示,请在坐标系中补全函数𝑓(𝑥)在定义域内的图象,并说明作图依据.分析:先证明f(x)是偶函数,再依据其图象关于y轴对称作图.题型一题型二题型三题型四题型五解:∵f(x)=1𝑥2+1,∴f(x)的定义域为R.又对任意x∈R,都有f(-x)=1(-𝑥)2+1=1𝑥2+1=𝑓𝑥,故f(x)为偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称,其图象如图所示.题型一题型二题型三题型四题型五反思利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧图象如图所示,写出使f(x)0的x的取值集合.解:由于f(x)为奇函数,y轴右侧图象已知,结合奇函数图象关于原点对称,作出y轴左侧图象,如图所示,由图象知,当x∈(0,2)时,f(x)0;当x∈(-5,-2)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为(-5,-2)∪(0,2).题型一题型二题型三题型四题型五利用函数的奇偶性求参数【例3】已知函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=.解析:因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4),即x2+(4-a)x-4a=x2-(4-a)x-4a,故4-a=-(4-a),解得a=4.答案:4反思利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略:(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,可以利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数可解.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=,b=.解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=13.所以函数f(x)=13𝑥2+𝑏𝑥+𝑏+1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.答案:130题型一题型二题型三题型四题型五∴函数f(x)的解析式为f(x)=𝑥(1+𝑥),𝑥0,0,𝑥=0,𝑥(1-𝑥),𝑥0.利用函数的奇偶性求函数的解析式【例4】若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式.解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).当x0时,-x0,∴f(x)=-f(-x)=x(1+x).当x=0时,f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0),∴f(0)=0.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.若f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则f(0)=0;2.已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式,求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时,首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,求当x∈(-∞,0)时,f(x)的解析式.解:设x0,则-x0.∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.∵函数f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∴当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.题型一题型二题型三题型四题型五易混易错题易错点分段函数奇偶性的判断【例5】判断函数f(x)=𝑥2,𝑥0,𝑥3,𝑥≥0的奇偶性.错解∵当x0时,f(-x)=(-x)2=x2=f(x);当x≥0时,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),∴当x0时,函数f(x)是偶函数;当x≥0时,函数f(x)是奇函数.错因分析:“当x0时,函数f(x)是偶函数;当x≥0时,函数是奇函数”这种说法是错误的.函数f(x)的奇偶性是函数的一个整体性质,是针对函数的整个定义域而言的.因此判断函数的奇偶性时,要考虑整个定义域,依据定义进行判断.正解:显然f(x)的定义域关于原点对称.当x0时,-x0,f(-x)=(-x)3,f(x)=x2,于是f(-x)≠±f(x),故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】判断函数f(x)=𝑥(𝑥-1),𝑥≥0,-𝑥(𝑥+1),𝑥0的奇偶性.解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪[0,+∞)=R.∵当x0时,有f(x)=x(x-1),-x0,∴f(-x)=-(-x)(-x+1)=x(1-x)=-x(x-1)=-f(x).当x0时,有f(x)=-x(x+1),-x0,∴f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x).当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0=-f(0).综上所得,对x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立.故f(x)是奇函数.