2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 集合与函数概念（第1课时）函数的

1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法1.掌握函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法,以及各种表示法的优缺点.2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式图象法以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数y=f(x)的图象,这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法列表法列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法函数的表示法归纳总结三种表示法的优缺点如下表:表示法优点缺点解析法简明、全面地概括了变量之间的关系,且利用解析式可求任一自变量对应的函数值不够形象直观,而且并不是所有函数都有解析式图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值列表法不需计算,可以直接看出与自变量对应的函数值只能表示有限个数的自变量所对应的函数值【做一做1】已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,则f(x)的解析式为.解析:设f(x)=𝑘𝑥(𝑘≠0),由f(3)=𝑘3=−6,可知k=-18.故f(x)=−18𝑥.答案:f(x)=−18𝑥【做一做2】农业科学家在研究玉米的生长过程时,把生长过程分为32个生长阶段,通过试验得到了各个生长阶段植株高度的相关数据,如图所示.在玉米的生长过程中,给定生长的某个阶段,就可以从这幅图中查到唯一一个与这个阶段相对应的玉米的植株高度,因此这个图可表示玉米的植株高度关于生长阶段的函数.这种表示函数的方法是.答案:图象法【做一做3】用列表法将函数f(x)表示如下:则f(f(2))=.答案:0x-1012f(x)42011.画函数f(x)图象的基本方法剖析(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数或二次函数等基本初等函数,则依据各基本初等函数的图象特点,直接画出f(x)的图象.(2)若函数f(x)不是基本初等函数,则用描点法画出f(x)的图象,其步骤是:列表、描点、连线.2.如何判断一个图形是不是函数的图象剖析任作垂直于x轴的直线,若图形与此直线至多有一个交点,则此图形可以作为函数图象;若图形与直线存在两个或两个以上的交点,则此图形不可以作为函数的图象.如图,由上述判断方法可得,图①可以作为函数的图象;图②不可以作为函数的图象,因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点.题型一题型二题型三题型四解析:由这一过程中汽车的速度变化可知,速度由小变大→保持匀速→由大变小.速度由小变大时,路程曲线上升得越来越快,曲线显得陡峭;匀速行驶中路程曲线上升速度不变;速度由大变小时,路程曲线上升得越来越慢,曲线显得平缓,仅有选项A符合该特征.答案:A函数图象的应用【例1】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是()题型一题型二题型三题型四反思关于函数图象的问题,一般情况下信息都暗含在图象中,应从坐标的含义及图象的走势两方面入手分析.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(单位:年)的函数图象如图,下列四种说法:①前三年中,产量增长的速度越来越快;②前三年中,产量增长的速度越来越慢;③第三年后,这种产品停止生产;④八年来,年产量保持不变.其中说法正确的是()A.②③B.②④C.①③D.①④解析:由图象知前三年累积产量越来越多,但增加的越来越慢,故②③正确.答案:A题型一题型二题型三题型四(1)函数f(x)的解析式及其定义域;(2)f(4)的值.分析:(1)设出g(x)和h(x)的解析式,利用g(1)=2和h(1)=-3求出其中各系数的值;(2)由(1)得函数f(x)的解析式,将x=4代入f(x)的解析式即可.求函数的解析式【例2】已知函数f(x)=g(x)+h(x),g(x)关于x2成正比例关系,h(x)关于𝑥成反比例关系,且𝑔(1)=2,ℎ(1)=−3.求:题型一题型二题型三题型四解:(1)设g(x)=k1x2(k1∈R,且k1≠0),h(x)=𝑘2𝑥(𝑘2∈R,且k2≠0),因为g(1)=2,h(1)=-3,所以k1=2,k2=-3.所以f(x)=2x2−3𝑥,定义域是(0,+∞).(2)由(1),得f(4)=2×42−34=612.反思若g(x)关于s(x)成正比例关系,则可以设g(x)=ks(x)(k∈R,且k≠0);若h(x)关于s(x)成反比例关系,则可以设h(x)=𝑘𝑠(𝑥)(𝑘∈R,且k≠0).这种先设出解析式,再构建所设参数的方程(组)来解决问题的方法称为待定系数法.当已知函数类型求函数解析式时常用此方法.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求满足下列条件的函数f(x)的解析式:(1)f(x+1)=2x2+5x+2;(2)已知二次函数的图象过点(3,8),且顶点坐标为(-6,5).解:(1)令x+1=t,则x=t-1.∴f(t)=2(t-1)2+5(t-1)+2=2t2+t-1,∴f(x)=2x2+x-1.题型一题型二题型三题型四(2)(方法1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴8=9𝑎+3𝑏+𝑐,-𝑏2𝑎=-6,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=5,∴𝑎=127,𝑏=49,𝑐=193,∴f(x)=127𝑥2+49𝑥+193.(方法2)设f(x)=a(x+6)2+5.∵二次函数的图象过点(3,8),∴8=a·92+5,∴a=127,∴f(x)=127(𝑥+6)2+5,即f(x)=127𝑥2+49𝑥+193.题型一题型二题型三题型四函数的图象及应用【例3】已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的值域.分析:(1)画出f(x)=x2-2x,x∈R的图象,夹在直线x=-1和x=2之间的部分即是所求函数的图象;(2)f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围就是f(x)的值域.题型一题型二题型三题型四解:(1)f(x)的图象如图所示.(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],则f(x)的值域是[-1,3].反思用图象法求函数f(x)的值域的步骤:(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围就是f(x)的值域.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】画出函数y=-2x+1,x∈[0,2]的图象,并根据图象写出函数的值域.解:函数y=-2x+1,x∈[0,2]的图象如图所示,由图象可知,y=-2x+1,x∈[0,2]的值域为[-3,1].题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点忽略变量的实际意义【例4】如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数解析式,并画出函数的图象.题型一题型二题型三题型四错解由题意得△CQB∽△BAP,所以𝐶𝑄𝐵𝐴=𝐶𝐵𝐵𝑃,即𝑦3=4𝑥.所以y=12𝑥.故所求的函数解析式为y=12𝑥,其图象如图所示.错因分析:没有考虑x的实际意义,扩大了x的取值范围,导致出错.题型一题型二题型三题型四正解:由题意得△CQB∽△BAP,所以𝐶𝑄𝐵𝐴=𝐶𝐵𝐵𝑃,即𝑦3=4𝑥.所以y=12𝑥.因为BA≤BP≤BD,而BA=3,CB=AD=4,所以BD=32+42=5,所以3≤x≤5,故所求的函数解析式为y=12𝑥(3≤x≤5).如图,曲线MN就是所求的函数图象.反思从实际问题中得到的函数,求其定义域时,不仅要使函数有意义,而且还要使实际问题有意义.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】将长为12m的铁丝折成矩形,且矩形的一边长为xm,求面积y(单位:m2)关于x的函数解析式,并画出函数的图象.解:因为矩形一边长为xm,则另一边长为(6-x)m,所以面积y=x(6-x)=-x2+6x.又6-x0,所以x6.所以所求的函数解析式为y=-x2+6x(0x6),函数图象如图所示.