2019-2020学年高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算（第1课时）交

-1-第1课时交集与并集首页课标阐释思维脉络1.理解两个集合的交集与并集的概念,明确数学中的“且”“或”的含义.2.会求两个集合的交集与并集.并能利用交集与并集的性质解决相关问题.3.能使用维恩图或数轴表示集合之间的运算,体会数形结合思想对理解抽象概念的作用.课前篇自主预习一二三知识点一、交集1.思考两个非空集合的交集可能是空集吗?提示:两个非空集合的交集可能是空集,即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时A∩B=⌀.反之,若A∩B=⌀,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此时A∩B=⌀.课前篇自主预习一二三2.填写下表:课前篇自主预习一二三特别提醒对于A∩B={x|x∈A,且x∈B},不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含义,这就是文字定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.课前篇自主预习一二三3.做一做:已知集合M={x|-2≤x2},N={0,1,2},则M∩N等于()A.{0}B.{1}C.{0,1,2}D.{0,1}解析:按照交集的定义求解即可.M∩N={x|-2≤x2}∩{0,1,2}={0,1}.故选D.答案:D课前篇自主预习一二三知识点二、并集1.思考(1)集合A∪B中的元素个数如何确定?提示:①当两个集合无公共元素时,A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和;②当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数.课前篇自主预习一二三(2)A∩B与A∪B是什么关系?提示:集合A∪B={x|x∈A或x∈B}中x∈A或x∈B包含三层意思:“x∈A,且x∉B”,如图甲所示的阴影部分;“x∈A,且x∈B”,如图乙所示的阴影部分;“x∈B,且x∉A”,如图丙所示的阴影部分.又A∩B={x|x∈A,且x∈B},则有(A∩B)⊆(A∪B).当且仅当A=B时,A∩B=A∪B;当且仅当A≠B时,(A∩B)⫋(A∪B).课前篇自主预习一二三2.填写下表:课前篇自主预习一二三3.做一做设集合A={1,2},B={2,3},则A∪B等于()A.{1,2,2,3}B.{2}C.{1,2,3}D.⌀答案:C课前篇自主预习一二三知识点三、交集与并集的运算性质1.思考(1)判断集合A={2,3}与集合B={2,3,5}的关系,并写出A∩B和A∪B,你能发现什么规律?提示:A与B的关系为A⫋B,A∩B={2,3},A∪B={2,3,5},由以上结论可推测A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.课前篇自主预习一二三(2)A∩(B∪C)与A∪(B∩C)相等吗?提示:A∩(B∪C)如图甲所示的阴影部分,A∪(B∩C)如图乙所示的阴影部分.由图可知,A∩(B∪C)≠A∪(B∩C),事实上有:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).课前篇自主预习一二三2.填写下表:交集的运算性质并集的运算性质A∩B=B∩AA∪B=B∪AA∩A=AA∪A=AA∩⌀=⌀∩A=⌀A∪⌀=⌀∪A=A如果A⊆B,则A∩B=A如果A⊆B,则A∪B=B课前篇自主预习3.做一做(1)若集合A={x|x0},B={x|1x3},则A∪B等于.解析:∵A⫌B,∴A∪B=A={x|x0}.答案:{x|x0}(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.①若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀.()②A∩B=B⇔A⊆B.()③A∪B=A⇔A⊆B.()④A∪B=⌀,则A=B=⌀.()答案:①×②×③×④√课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四两个集合的交集运算例1设A={x|x2-7x+6=0},B={x|4x9,x∈N},求A∩B.分析:首先明确集合A,B中的元素,集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是满足不等式4x9的自然数集,然后直接观察或借助于维恩图写出交集.解:A={1,6},B={5,6,7,8},用维恩图表示集合A,B,如图所示,依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四反思感悟集合求交集的解题策略求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果.有时要借助于维恩图或数轴写出交集.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四变式训练1(1)已知集合A={0,2,4,6},B={2,4,8,16},则A∩B等于()A.{2}B.{4}C.{0,2,4,6,8,16}D.{2,4}(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于()A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}答案:(1)D(2)A当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四两个集合的并集运算例2设集合A={x|x+10},B={x|-2x2},求A∪B.分析:首先明确集合A中的元素,集合A是不等式x+10的解集,然后借助于数轴写出A∪B.解:A={x|x-1},在数轴上分别表示集合A,B,如图所示,由数轴可知A∪B={x|x-2}.反思感悟求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中的元素是什么性质,有时直接观察可写出并集,有时则需借助图示写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于维恩图写出并集.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四延伸探究本例条件不变,如何求A∩B?(用区间表示)解:A∩B=(-1,2).当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四集合运算性质的运用【例3】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|mx-1=0},若A∪B=A,则实数m构成的集合为.分析:解答此题要注意两点,一是先利用性质A∪B=A⇔B⊆A来转化;二是要弄清楚B={x|mx-1=0}≠𝑥𝑥=1𝑚,要注意对m是否为0进行讨论.解析:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},A∪B=A⇔B⊆A.因此集合B只能为单元素集或⌀.(1)当B={1}时,即1∈B={x|mx-1=0},得m=1;同理,当B={2}时,得m=12.(2)当B=⌀时,即mx-1=0无解,得m=0.综上(1)(2)可知,实数m构成的集合为0,1,12.答案:0,1,12当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四反思感悟集合运算性质的应用技巧1.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B,这两个性质常常作为“等价转化”的依据,要特别注意当A⊆B时,往往需要按A=⌀和A≠⌀两种情况分类讨论,而这一点却很容易在解题时被忽视,因此当题目中有A⊆B这一条件时,应有分类讨论的思想意识,以免造成漏解或增解.2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四变式训练2集合A={x|-1≤x3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a0},满足B∩C=B,求实数a的取值范围.解:(1)由题意得B={x|x≥2},又A={x|-1≤x3},如图.所以A∩B={x|2≤x3}.(2)由题意得,C=𝑥𝑥-𝑎2,又B∩C=B,故B⊆C,所以-𝑎22,所以a-4.所以实数a的取值范围为a-4.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四集合的交、并综合运算例4已知集合A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R},求A∩B,A∪B.分析:先利用配方法确定集合A与B,再利用数轴进行集合的交、并运算.解:∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},∴A={y|y≥-4}.∵B={y|y=-(x-1)2+14,x∈R},∴B={y|y≤14}.将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示,∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四反思感悟集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解,有方程问题、不等式问题、点集等,把集合明确后,根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义,选取合适的方法进行运算,如可结合数轴、维恩图或初中所学函数的图像等.当堂检测课堂篇探究学习1.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于()A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤4}D.{x|-1≤x≤4}解析:在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,由数轴可知,A∩B={x|0≤x≤2}.答案:A2.已知集合M={x∈N+|x8},N={-1,4,5,7},则M∪N等于()A.{4,5,7}B.{1,2,3,4,5,6,7}C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7}D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}解析:M={1,2,3,4,5,6,7},则集合M与N的所有元素构成的集合是M∪N={-1,1,2,3,4,5,6,7}.答案:D探究一探究二探究三探究四当堂检测课堂篇探究学习3.若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系必定是()A.A⫋CB.C⫋AC.A⊆CD.C⊆A解析:∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C.∴A⊆C.答案:C4.已知集合A={x|x-a0},B={x|2-x0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是.解析:由题意得A={x|xa},B={x|x2},因为A∪B=B,所以A⊆B.在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.答案:a≥2探究一探究二探究三探究四当堂检测课堂篇探究学习5.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=.解析:由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.答案:36.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=⌀时,求实数m的取值范围.解:(1)由题意得,M={2},当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},则M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)M={2}≠⌀,则2不是方程x2-3x+m=0的解,所以4-6+m≠0,即m≠2.所以实数m的取值范围为m≠2.探究一探究二探究三探究四当堂检测课堂篇探究学习