2019-2020学年高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法（第1课时）

-1-第1课时集合首页课标阐释思维脉络1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的关系.2.了解集合中元素的特征性质.3.了解空集的含义及其表示方法.4.了解集合的分类,掌握常用数集的表示方法.课前篇自主预习一二三四知识点一、集合的概念1.思考(1)你能具体说出你所在班级中头脑比较聪明的同学的姓名吗?你能具体说出你所在班级中所有女生的姓名吗?提示:比较聪明的同学的姓名不能具体说出来,因为聪明与否没有明确的标准;而所在班级中女生的姓名是明确的.(2)你认为将要研究的“集合”是由什么构成的呢?提示:今天我们研究的“集合”这一新概念,是必须由一些确定的对象构成的.也就是说上述所说的聪明的同学是不能构成集合的.因为聪明是没有明确划分标准的.课前篇自主预习一二三2.填空(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集).集合通常用英文大写字母A,B,C,…来表示.(2)元素:组成集合的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素通常用英文小写字母a,b,c,…来表示.3.做一做:下列各组对象能构成集合的有()①2019年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;②不超过10的非负奇数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B四课前篇自主预习一二三四知识点二、元素与集合的关系1.思考设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关系?提示:3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8∉M.2.填写下表:知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素,就说a属于Aa∈Aa属于A不属于如果a不是集合A的元素,就说a不属于Aa∉Aa不属于A课前篇自主预习一二三四名师点拨区别与联系概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象英文小写字母a,b,c,…a∈A或a∉A集合一些对象组成的整体英文大写字母A,B,C,…课前篇自主预习一二三四3.做一做集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是()A.5∈MB.0∉MC.1∈MD.-π2∈M答案:D课前篇自主预习一二三四知识点三、集合的分类及相等集合1.思考方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?提示:该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,因此集合中元素个数为0.2.填空.(1)有限集:含有有限个元素的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合.(3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集.空集可以看作是包含0个元素的集合.(4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.课前篇自主预习一二三四知识点四、常用数集及其表示1.思考我们曾经学习了哪些常见的数集?提示:我们都学习过自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集.2.填写下表:名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN+或N*ZQR3.做一做用符号“∈”或“∉”填空.(1)1∈N+;(2)-3∉N;(3)13∈Q;(4)3∉Q;(5)-12∈R.课堂篇探究学习探究一探究二探究三集合中元素的确定性例1判断下列各组对象能否构成一个集合:(1)2019年9月召开的本校秋季运动会所有的男队员;(2)方程x2-1=0的所有实根;(3)的近似值的全体;(4)大于0的所有整数.解:(1)能,因为男队员是确定的.(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.(4)能,因为大于0的整数是确定的.2思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三反思感悟集合的判定方法集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三集合中元素的互异性例2若集合中的三个元素分别为2,x,x2-x,则元素x应满足的条件是.解析:由元素的互异性可知x≠2,且x2-x≠2,且x2-x≠x,即𝑥≠2,𝑥2-𝑥≠2,𝑥2-𝑥≠𝑥,解得x≠2,且x≠-1,且x≠0.答案:x≠2,且x≠-1,且x≠0反思感悟集合中元素的特征性质集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三延伸探究若集合A中含有两个元素a-3和2a-1,已知-3是A中的元素,如何求a的值?解:∵-3是A中的元素,∴-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0.此时集合中含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述:满足题意的实数a的值为0或-1.思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三元素与集合的关系例3已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.分析:-3是集合中的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求解.解:由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;当2x2+5x=-3时,x=-32或x=-1(舍去),当x=-32时,集合的三个元素分别为-72,-3,12,满足集合中元素的互异性,故x=-32.思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三反思感悟解决此类问题的通法是:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性.思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三变式训练用符号“∈”和“∉”填空.(1)2-1R.(2)23Q.(3)-4N.答案:(1)∈(2)∈(3)∉思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析分类讨论思想的应用分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学地划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析典例已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值.解:(1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.(2)当x2=1时,得x=±1.若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.综上可知,符合题意的x的值为-1.方法点睛x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论.当堂检测课堂篇探究学习A.3.14B.-5C.37D.71.(多选)下列对象能构成集合的是()A.所有的正数B.等于2的数C.接近0的数D.不等于0的偶数答案:ABD2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习3.用符号∈或∉填空.(1)设集合A是正整数构成的集合,则0A,2A,1A;(2)设集合B是小于11的所有实数构成的集合,则23B,1+2B;(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则3C,5C;(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,则-1D,(-1,1)D.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习解析:(1)依次应填∉,∉,∈.(2)23=1211.因为(1+2)2=3+2211,所以1+211.所以依次应填∉,∈.(3)由于n是正整数,所以n2+1≠3.而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填∉,∈.(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1是数,所以-1∉D.又(-1)2=1,所以依次应填∉,∈.答案:(1)∉∉∈(2)∉∈(3)∉∈(4)∉∈探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习4.下列对象构成的集合是空集的是.(填序号)①小于1的自然数;②2米高的人;③方程x2-x+1=0的解集.解析:因为方程x2-x+1=0的判别式Δ=1-40,所以方程无解,即解集为空集.而小于1的自然数为0,2米高的人也存在,所以①②都不是空集.答案:③5.设A表示由a2+2a-3,2,3构成的集合,B表示由2,|a+3|构成的集合,已知5∈A,且5∉B,求a的值.解:∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.当a=2时,|a+3|=5;当a=-4时,|a+3|=1.又5∉B,∴a=-4.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习