2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课件 新人教A版选修

-1-1.4全称量词与存在量词目标导航1.理解全称量词与存在量词的意义,会判断一个含有量词的全称命题、特称命题的真假.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.知识梳理1.短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.名师点拨1.全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”等.特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”等.2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.3.通过举例验证的方式不能说明一个全称命题的真假,注意规避.知识梳理【做一做1】下列命题中含有全称量词的是()A.至少有一个自然数是2的倍数B.存在小于零的整数C.方程3x=2有实数根D.所有无理数都是小数答案:D知识梳理2.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号∀x∈M,p(x)表示,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,可用符号∃x0∈M,p(x0)表示,读作“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”.归纳总结全称命题中的全称量词表明给定范围内的所有对象都具有某一性质,无一例外;而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成相反意义的表述.【做一做2】下列语句是特称命题的是()A.整数n是2和7的倍数B.存在整数n,使n能被11整除C.x7D.∀x∈M,p(x)成立解析:B选项中有存在量词“存在”,故B项是特称命题,A和C不是命题,D是全称命题.答案:B知识梳理3.含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定􀱑p:∃x0∈M,􀱑p(x0),是特称命题;(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定􀱑p:∀x∈M,􀱑p(x),是全称命题.名师点拨1.对一个全称命题或特称命题进行否定时,必须要把命题的两个地方进行改变:一是量词(量词符号)要改变,二是结论要否定.2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.知识梳理【做一做3-1】已知命题p:有些实数的绝对值是正数,则p的否定为()A.有些实数的绝对值不是正数B.所有实数的绝对值都是正数C.所有实数的绝对值都不是正数D.有些实数的绝对值是负数解析:原命题中量词“有些”改为“所有”,原命题的结论“绝对值是正数”否定为“绝对值不是正数”,故命题p的否定为所有实数的绝对值都不是正数.答案:C【做一做3-2】已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则􀱑p是.解析:全称命题的否定为特称命题.则􀱑p:∃x0∈R,sinx01.答案:∃x0∈R,sinx01重难聚焦1.全称命题与特称命题的真假剖析:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”).要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.重难聚焦2.含有一个量词的命题的否定剖析:全称命题和特称命题的否定,其模式是固定的,即先把相应的全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词,再对命题的结论进行否定,熟练地掌握下列常用词语的否定,对写出含有一个量词的命题的否定有很大帮助.原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n-1)个小于不小于至多有n个至少有(n+1)个任意的某个p∨q(􀱑p)∧(􀱑q)所有的某些p∧q(􀱑p)∨(􀱑q)重难聚焦归纳总结在实际应用中,若从正面证明全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题不容易,可证明它的否定“∃x0∈M,¬p(x0)”是假命题,反之亦然.典例透析题型一题型二题型三题型四全称命题与特称命题的辨析【例1】判断下列命题是全称命题还是特称命题:(1)负数没有对数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)∀x∈{x|x是无理数},x2是无理数;(4)∃x0∈{x|x∈Z},log2x00.分析:(1)虽然表面看并不含量词,但从意义上来理解却含有“全部”“所有的”这样的意思;(2)(3)(4)明显含有量词.解:(1)和(3)为全称命题;(2)和(4)为特称命题.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四反思判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法:(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题含义的实质进行判断.(3)全称命题有时可能会省略全称量词,但特称命题的量词一般不能省略.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】判断下列语句是全称命题,还是特称命题:(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称命题.(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.(3)对任意a,b∈R,若ab,则1𝑎1𝑏.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四判断全称命题与特称命题的真假【例2】判断下列命题的真假:(1)存在实数θ,使得sin(π+θ)=sinθ;(2)任意直线都存在斜率;(3)∀x∈R,sinx+cosx≥-2;(4)∃x0∈R,𝑥02−2𝑥0+30.分析:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再根据相应命题真假性的判断方法进行判断.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)是特称命题,因为sin(π+θ)=-sinθ=sinθ,所以sinθ=0,这时θ=kπ(k∈Z),即当θ=kπ(k∈Z)时,满足sin(π+θ)=sinθ,故该命题为真命题.(2)是全称命题,由直线斜率的定义知,倾斜角等于90°的直线不存在斜率,故该命题为真命题.(3)是全称命题,因为对∀x∈R,sinx+cosx=2sin𝑥+π4≥−2−2,所以该命题为真命题.(4)是特称命题,因为对任意x∈R,x2-2x+3=(x-1)2+2≥20,所以不存在x0∈R,使𝑥02−2𝑥0+30,故该命题为假命题.反思要判定一个全称命题是真命题,需要对限定集合中每一个元素验证其成立;但要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合中找到一个元素说明其成立即可.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四(3)存在一个实数x0,使得等式𝑥02+𝑥0+8=0成立;(4)∀x∈R,x2-3x+2=0;解:(1)真命题,如函数f(x)=0(x∈R),既是偶函数又是奇函数.【变式训练2】判断下列命题的真假:(1)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(2)假命题,如边长为1的正方形,对角线长为2,就不是正有理数.(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-310,故方程无实数解.(4)假命题,只有x=2或x=1时,等式x2-3x+2=0才成立.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四对含有一个量词的命题的否定(1)有些质数是奇数;(2)所有二次函数的图象都开口向上;(3)∃x02,使得1𝑥012;(4)∀x∈Q,13𝑥2+12𝑥+1是有理数.分析:先判断命题是全称命题还是特称命题,再写出它的否定.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)“有些质数是奇数”是特称命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,假命题.(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题,其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”,真命题.(3)“∃x02,使得1𝑥012”是特称命题,其否定为“∀x2,使得1𝑥≤12”,假命题.(4)“∀x∈Q,13𝑥2+12𝑥+1是有理数”是全称命题,其否定为“∃x0∈Q,13𝑥02+12𝑥0+1不是有理数”,假命题.反思在含有一个量词的命题的否定中,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.注意有些原命题无关键量词,但隐含着其含义,要注意辨析.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】写出下列命题的否定,并判断否定的真假:(1)任何一个平行四边形的对边都平行;(2)梯形的对角线相等;(3)有的四边形没有外接圆;分析:本题主要考查全称命题与特称命题的否定.可先将命题写成较明显、易理解的形式,再对一些关键词语进行否定.(4)∃x0,y0∈Z,使得2𝑥0+𝑦0=3.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)命题的否定“存在一个平行四边形,其对边不都平行.”由平行四边形的定义知,这是假命题.(2)命题的否定“有些梯形的对角线不相等.”因为直角梯形的对角线不相等,所以是真命题.(3)命题的否定“所有四边形都有外接圆.”因为只有对角互补的四边形才有外接圆,所以原命题为真,命题的否定为假命题.所以原命题为真,命题的否定为假命题.(4)命题的否定“∀x,y∈Z,都有2x+y≠3.”因为当x=0,y=3时,2x+y=3,题型五典例透析题型一题型二题型三题型四题型五根据全称命题或特称命题的真假求参数的取值范围【例4】已知命题p:“∀x0,x+4𝑥−1−𝑎2+2𝑎0”,若𝑝为真命题,求实数𝑎的取值范围.分析:命题p是全称命题,其为真命题,等价于当x0时,不等式x+4𝑥−1−𝑎2+2𝑎0恒成立,从而借助不等式的知识求解.解:由已知得,不等式x+4𝑥−1−𝑎2+2𝑎0对一切x0恒成立.所以a2-2ax+4𝑥−1.由基本不等式可知x+4𝑥−1≥2𝑥·4𝑥−1=3,当且仅当x=2时取等号,即x+4𝑥−1的最小值为3,因此,要使不等式恒成立,应满足a2-2a3,解得-1a3.故a的取值范围为(-1,3).典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思解决此类问题的关键是根据全称命题或特称命题的真假,将已知条件进行等价转化,进而用已学知识进行推理求解.典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】已知命题p:“∃x∈R,2x2-3ax+90”,若p为假命题,则实数a的取值范围是.解析:由题意可知,2x2-3ax+9≥0对一切x∈R恒成立,则(-3a)2-72≤0,解得-22≤a≤22.答案:[-22,22]典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点因对量词的否定不当致错【例5】某科学家在试验室种下了三颗种子,他预测:(1)三颗种子都发芽;(2)三颗种子至少有两颗发芽.请分别给出(1)和(2)的否定.错解:(1)三颗种子都不发芽;(2)三颗种子至多有两颗发芽.错因分析:(1)“都”在否定中是“不都”而不是“都不”;(2)“至少有两颗发芽”的否定应是“至多有一颗发芽”.因为至多有两颗和至少有两颗都包括两颗的情况.正解:(1)三颗种子中至少有一颗不发芽;(2)三颗种子中至多有一颗发芽.题型五典例透析