2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第3

-1-第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式首页课标阐释思维脉络1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题.3.要注意体会二倍角公式与和差公式的内在联系.课前篇自主预习一二一、二倍角的正弦、余弦和正切公式1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结果?2.上述cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢?提示:根据同角的三角函数关系式可得cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α.提示:sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα,cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα,tan(α+α)=tan𝛼+tan𝛼1-tan2𝛼,即sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼.课前篇自主预习一二3.填空二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数公式简记正弦sin2α=2sinαcosαS2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αC2α正切tan2α=2𝑡𝑎𝑛α1-𝑡𝑎𝑛2𝛼T2α课前篇自主预习一二4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围在公式S2α,C2α中,角α可以为任意角;但公式T2α只有当α≠π2+kπ,且α≠π4+𝑘π2(k∈Z)时才成立,否则不成立因为当𝛼=π2+𝑘π,𝑘∈Z时,tan𝛼的值不存在;当𝛼=π4+𝑘π2,𝑘∈Z时,tan2𝛼的值不存在.当α=π2+kπ,k∈Z时,虽然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式,即tan2α=tan2π2+𝑘π=tan(π+2kπ)=tanπ=0.课前篇自主预习一二5.做一做求下列各式的值.(1)4sin15°cos15°=;(2)若cosα=13,则cos2α=;(3)若tanθ=12,则tan4θ=.课前篇自主预习一二解析:(1)4sin15°cos15°=2·2sin15°cos15°=2sin30°=2×12=1.(2)cos2α=2cos2α-1=2132-1=-79.(3)由已知得tan2θ=2tan𝜃1-tan2𝜃=2×121-122=43,所以tan4θ=2tan2𝜃1-tan22𝜃=2×431-432=-247.答案:(1)1(2)-79(3)-247课前篇自主预习一二二、二倍角公式的变形1.若将1±sin2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin2α可化为什么形式?提示:1±sin2α=sin2α±2sinαcosα+cos2α=(sinα±cosα)2.2.根据二倍角的余弦公式,sinα,cosα与cos2α的关系分别如何?提示:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,3.填空(1)1±sin2α=(sinα±cosα)2;(2)升幂缩角公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α;sin2α=1-cos2𝛼2,cos2α=1+cos2𝛼2.(3)降幂扩角公式:sin2α=1-cos2𝛼2,cos2α=1+cos2𝛼2.课前篇自主预习一二4.做一做求下列各式的值.(1)2cos2π12=;(2)sinπ8+cosπ82=.解析:(1)原式=1+cos2×π12=1+cosπ6=1+32.(2)原式=1+sinπ4=1+22.答案:(1)1+32(2)1+22课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用二倍角公式解决给角求值问题例1求下列各式的值:分析:对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分母同乘2sin20°,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin2750°;(3)2tan150°1-tan2150°;(4)cos20°cos40°cos80°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)原式=2sinπ12cosπ122=sinπ62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12.(3)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-3.(4)原式=2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°=2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°=2sin80°·cos80°8sin20°=sin160°8sin20°=18.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1求下列各式的值:(1)cos4π8-sin4π8;(2)tan75°1-tan275°;(3)cosπ7cos27πcos47π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)原式=cos2π8+sin2π8cos2π8-sin2π8=cosπ4=22.(2)原式=12tan150°=-12tan30°=-36.(3)原式=8sinπ7cosπ7cos27πcos47π8sinπ7=4sin27πcos27πcos4π78sinπ7=2sin47πcos47π8sinπ7=sin87π8sinπ7=-sinπ78sinπ7=-18.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用二倍角公式解决条件求值问题例2已知sinπ4-𝑥=513,0xπ4,求cos2𝑥cosπ4+𝑥的值.分析:一种思路是由已知条件求出cosπ4-𝑥的值,用诱导公式求出cos2x以及cosπ4+𝑥的值然后代入求解;另一种思路是先将欲求值的式子化简,然后将sinπ4-𝑥平方,求得sin2x的值,再求得cosx+sinx的值,最后代入即得.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解法一∵0xπ4,∴π4-x∈0,π4.又sinπ4-𝑥=513,∴cosπ4-𝑥=1213.∵cos2x=sinπ2-2𝑥=2sinπ4-𝑥cosπ4-𝑥=2×513×1213=120169,cosπ4+𝑥=sinπ2-π4+𝑥=sinπ4-𝑥=513,∴原式=120169513=2413.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解法二原式=cos2𝑥-sin2𝑥22cos𝑥-22sin𝑥=(cos𝑥+sin𝑥)(cos𝑥-sin𝑥)22(cos𝑥-sin𝑥)=2(cosx+sinx).由已知得22cosx-22sinx=513,所以cosx-sinx=5213,因此(cosx-sinx)2=50169,即1-sin2x=50169,所以sin2x=119169,因此1+sin2x=288169,即(cosx+sinx)2=288169,而0xπ4,所以cosx+sinx=12213,故原式=2×12213=2413.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟解决条件求值问题的方法给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2已知sinα=1010,α∈0,π2,则cos2𝛼+π6的值为()A.43-310B.43+310C.4-3310D.33-410解析:∵sinα=1010,α∈0,π2,∴cosα=1-sin2𝛼=31010,∴sin2α=2sinαcosα=2×1010×31010=35,cos2α=1-2sin2α=1-2×10102=45.∴cos2𝛼+π6=32cos2α-12sin2α=32×45−12×35=43-310.故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用二倍角公式解决化简与证明问题例3(1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);分析:(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos2θ与1+cos2θ运用公式先化简,后约分结合同角关系证明.(2)证明:1+sin2𝜃-cos2𝜃1+sin2𝜃+cos2𝜃=tanθ.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)解:原式=1+cos(2𝜃+30°)2+1-cos(2𝜃-30°)2+cosθsinθ=1+12(cos2θcos30°-sin2θsin30°-cos2θcos30°-sin2θsin30°)+12sin2θ=1-sin2θsin30°+12sin2θ=1.(2)证明左边=(1-cos2𝜃)+sin2𝜃(1+cos2𝜃)+sin2𝜃=2sin2𝜃+sin2𝜃2cos2𝜃+sin2𝜃=2sin2𝜃+2sin𝜃cos𝜃2cos2𝜃+2sin𝜃cos𝜃=2sin𝜃(sin𝜃+cos𝜃)2cos𝜃(sin𝜃+cos𝜃)=sin𝜃cos𝜃=tanθ=右边,所以等式成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3化简:11-tan𝜃−11+tan𝜃.解:原式=(1+tan𝜃)-(1-tan𝜃)(1-tan𝜃)(1+tan𝜃)=2tan𝜃1-tan2𝜃=tan2θ.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视角的范围致误典例化简:2+2+2cos𝛼(2πα3π).错解2+2+2cos𝛼=2+2cos𝛼2=2cos𝛼4.错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?提示:错解中利用倍角公式从里到外去根号时,只是机械地套用公式,而没有考虑角的范围对函数值的影响,从而导致错误.正解:∵2πα3π,∴π𝛼23π2,π2𝛼43π4.∴2+2+2cos𝛼=2+4cos2𝛼2=2-2cos𝛼2=4sin2𝛼4=2sin𝛼4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施利用二倍角公式化简1±cos𝛼时,由于1+cosα=2cos2𝛼2,1-cosα=2sin2𝛼2,则1+cos𝛼=2cos𝛼2,1-cos𝛼=2sin𝛼2,因此要根据𝛼2的终边所在的象限确定sin𝛼2,cos𝛼2的符号,从而去掉绝对值符号,保持恒等变形.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维