2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1

-1-第1课时两角差的余弦公式首页课标阐释思维脉络1.能利用三角函数的定义与距离公式推导出两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式,能够运用公式解决相关问题.3.体会公式运用中一般与特殊的转化关系.课前篇自主预习两角差的余弦公式1.15°角是特殊角吗?如果不是特殊角,那么能否用特殊角的和与差来表示15°?如果15°=45°-30°,那么cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°吗?提示:15°角不是特殊角,但可以用特殊角的差来表示15°,例如15°=45°-30°,但cos(45°-30°)≠cos45°-cos30°.2.观察下表中的数据,你有什么发现?提示:cos(60°-30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°;cos(120°-60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°.cos(60°-30°)cos60°cos30°sin60°sin30°3212323212cos(120°-60°)cos120°cos60°sin120°sin60°12-12123232课前篇自主预习3.填空(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(2)此公式简记作C(α-β).(3)使用条件:α,β都是任意角.4.做一做(1)cos15°=.(2)cos75°cos15°+sin75°sin15°=.解析:(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×32+22×12=6+24.(2)cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=12.答案:(1)6+24(2)12课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练利用两角差的余弦公式解决给角求值问题例1求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα;分析:对于(1),应利用诱导公式将-375°转化为锐角再变为两特殊角之差然后利用公式计算;对于(2),将sin195°转化为-sin15°,再套用公式计算;对于(3),可将α+45°当作一个整体来处理;对于(4),应将分别转化为cos60°,sin60°,然后套用公式计算.(4)12cos15°+32sin15°.12,32课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练解:(1)cos(-375°)=cos375°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×32+22×12=6+24.(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=12.(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα=cos[(α+45°)-α]=cos45°=22.(4)12cos15°+32sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=22.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练反思感悟利用公式C(α-β)求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练变式训练1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°=sin(90°-44°)cos14°+sin44°cos(90°-14°)=cos44°cos14°+sin44°sin14°=cos(44°-14°)=cos30°=.(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos[(θ+70°)-(θ+10°)]=cos60°=.1232课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练利用两角差的余弦公式解决给值求值问题例2(1)已知sinα=35,α是第二象限角;cosβ=45,β是第四象限角,求cos(α-β)的值;(2)已知sinα=12,cos(α+β)=-35,α,β均为锐角,求cosβ的值.分析:对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cosα,sinβ的值,然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练解:(1)∵sinα=35,α是第二象限的角,∴cosα=-1-352=-45.又cosβ=45,β是第四象限的角,∴sinβ=-1-452=-35.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-45×45+35×-35=-2525=-1.(2)由sinα=12和α为锐角可得cosα=1-sin2𝛼=32.由cos(α+β)=-35和0α+β180°可得sin(α+β)=1-cos2(𝛼+𝛽)=45.于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-35×32+45×12=4-3310.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练反思感悟给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:①α=(α-β)+β;②α=𝛼+𝛽2+𝛼-𝛽2;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练变式训练2(1)若α∈-π4,0,sinα=-35,则cosπ4-𝛼=.(2)若α,β均为锐角,且sinα=255,cos(α+β)=35,则cosβ的值等于.解析:(1)因为α∈-π4,0,sinα=-35,所以cosα=45,于是cosπ4-𝛼=cosπ4cosα+sinπ4sinα=22×45+22×-35=210.(2)因为α,β均为锐角,且sinα=255,cos(α+β)=35,所以cosα=55,sin(α+β)=45,故cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=35×55+45×255=11525.答案:(1)210(2)11525课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练利用两角差的余弦公式解决给值求角问题分析:利用两角差的余弦公式,求出cos(α-β)的值,然后根据α-β的范围求出α-β的值.例3已知α,β均为锐角,且sinα=255,sinβ=1010,求α-β的值.解:因为α,β均为锐角,所以cosα=55,cosβ=31010.因此cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=55×31010+255×1010=22.又因为sinαsinβ,所以0βαπ2,因此0α-βπ2.故α-β=π4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练反思感悟解决三角函数给值求角问题的方法步骤(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;(3)结合三角函数值及角的范围求角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练延伸探究本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈π2,π”,再求α-β的值.解:因为α,β∈π2,π,所以cosα=-55,cosβ=-31010.因此cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-55×-31010+255×1010=22.又因为sinαsinβ,且α,β∈π2,π,所以αβ,因此-π2α-β0.故α-β=-π4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练1.cos50°=()A.cos70°cos20°-sin70°sin20°B.cos70°sin20°-sin70°cos20°C.cos70°cos20°+sin70°sin20°D.cos70°sin20°+sin70°cos20°解析:cos50°=cos(70°-20°)=cos70°cos20°+sin70°sin20°.答案:C2.cos5π12cosπ6+cosπ12sinπ6的值是()A.0B.12C.22D.32解析:cos5π12cosπ6+cosπ12sinπ6=cos5π12cosπ6+sin5π12sinπ6=cos5π12-π6=cosπ4=22.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练3.设α∈0,π2,若sinα=35,则22cos𝛼-π4=()A.110B.710C.-710D.-110解析:因为α∈0,π2,sinα=35,所以cosα=45,原式=22cos𝛼cosπ4+sin𝛼sinπ4=12(cosα+sinα)=1245+35=710.答案:B4.求值:2cos10°-sin20°sin70°=.解析:原式=2cos10°-sin20°cos20°=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=3cos20°+sin20°-sin20°cos20°=3.答案:3课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练5.已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0βαπ2,求β的值.解:由cosα=17,0απ2,得sinα=1-cos2𝛼=1-172=437.由0βαπ2,得0α-βπ2.∵cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos2(𝛼-𝛽)=1-13142=3314.∵β=α-(α-β),∴cosβ=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12.∵0βπ2,∴β=π3.课堂篇探究学习