2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数 5.3 诱导公式（第1课时）诱导公式二、三、四课件

-1-第1课时诱导公式二、三、四首页课标阐释思维脉络1.借助单位圆理解诱导公式的推导方法.2.理解、掌握并熟记诱导公式二、三、四.3.能够利用诱导公式解决三角函数的求值、化简与证明问题.课前篇自主预习一二三一、诱导公式二1.观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角π+α的终边有什么关系?(2)角α与角π+α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?提示:(1)在一条直线上,方向相反;(2)关于原点对称;(3)横、纵坐标都互为相反数.课前篇自主预习一二三2.填空(1)角π+α与角α的终边关于原点对称(如图所示).(2)诱导公式二:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.课前篇自主预习一二三3.做一做(1)sin225°=;(2)tan4π3=.解析:(1)sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°=-22;(2)tan4π3=tanπ+π3=tanπ3=3.答案:(1)-22(2)3课前篇自主预习一二三二、诱导公式三1.观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角-α的终边有什么关系?(2)角α与角-α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?提示:(1)关于x轴对称;(2)关于x轴对称;(3)横坐标相等,纵坐标互为相反数.2.填空(1)角-α与角α的终边关于x轴对称(如图所示).(2)诱导公式三:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.课前篇自主预习一二三3.做一做(1)sin(-390°)=;(2)cos-13π6=.解析:(1)sin(-390°)=-sin390°=-sin30°=-12;(2)cos-13π6=cos13π6=cosπ6=32.答案:(1)-12(2)32课前篇自主预习一二三三、诱导公式四1.观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角π-α的终边有什么关系?(2)角α与角π-α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?提示:(1)关于y轴对称;(2)关于y轴对称;(3)横坐标互为相反数、纵坐标相等.课前篇自主预习一二三2.填空(1)角π-α与角α的终边关于y轴对称(如图所示).(2)诱导公式四:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.课前篇自主预习一二三3.做一做(1)sin150°=;(2)tan-3π4=.解析:(1)sin150°=sin(180°-30°)=sin30°=12.(2)tan-3π4=-tan3π4=-tanπ-π4=--tanπ4=tanπ4=1.答案:(1)12(2)1课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练利用诱导公式解决求值问题例1(1)求sin585°cos1290°+cos(-30°)sin210°+tan135°的值;(2)已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,求sin(α+125°)的值.分析:(1)利用诱导公式将负角化为正角,进而化为锐角进行求值;(2)寻求α-55°与α+125°之间的关系,利用诱导公式进行化简.13课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练解:(1)sin585°cos1290°+cos(-30°)sin210°+tan135°=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos30°sin210°+tan(180°-45°)=sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45°=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos30°·sin(180°+30°)-tan45°=sin45°cos30°-cos30°sin30°-tan45°=22×32−32×12-1=6-3-44.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练(2)因为cos(α-55°)=-130,且α是第四象限角,所以α-55°是第三象限角.因此sin(α-55°)=-1-cos2(𝛼-55°)=-223.又因为α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=223.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练反思感悟1.利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤:2.利用诱导公式解决给值求值问题的策略:(1)弄清楚已知条件与所求式中角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练延伸探究本例(2)中,条件不变,如何求tan(595°-α)的值?解:因为cos(α-55°)=-13,所以cos(55°-α)=-13.因为α为第四象限角,所以55°-α是第二象限角.于是sin(55°-α)=1-cos2(55°-𝛼)=223,于是tan(595°-α)=tan(360°+235°-α)=tan(235°-α)=tan(180°+55°-α)=tan(55°-α)=sin(55°-𝛼)cos(55°-𝛼)=223-13=-22.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练利用诱导公式解决化简问题分析:充分利用所学的四个诱导公式对角进行转化,并结合同角三角函数关系式进行化简.例2(1)化简:cos(-𝛼)tan(7π+𝛼)sin(π-𝛼)=;(2)化简sin(1440°+𝛼)·cos(𝛼-1080°)cos(-180°-𝛼)·sin(-𝛼-180°).(1)解析:原式=cos(-𝛼)tan(7π+𝛼)sin(π-𝛼)=cos𝛼tan(π+𝛼)sin𝛼=cos𝛼·tan𝛼sin𝛼=sin𝛼sin𝛼=1.答案:1(2)解:原式=sin(4×360°+𝛼)·cos(3×360°-𝛼)cos(180°+𝛼)·[-sin(180°+𝛼)]=sin𝛼·cos(-𝛼)(-cos𝛼)·sin𝛼=cos𝛼-cos𝛼=-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练反思感悟利用诱导公式一~四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.(2)化简时函数名不发生改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练变式训练1化简:tan(2π-𝜃)sin(2π-𝜃)cos(6π-𝜃)(-cos𝜃)sin(5π+𝜃).解:原式=tan(-𝜃)sin(-𝜃)cos(-𝜃)(-cos𝜃)sin(π+𝜃)=tan𝜃sin𝜃cos𝜃cos𝜃sin𝜃=tanθ.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练利用诱导公式解决证明问题分析:观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.例3求证:tan(2π-𝛼)sin(-2π-𝛼)cos(6π-𝛼)cos(𝛼-π)sin(5π-𝛼)=-tanα.证明原式左边=sin(2π-𝛼)cos(2π-𝛼)·sin(-𝛼)·cos(-𝛼)cos(π-𝛼)sin(π-𝛼)=-sin𝛼·(-sin𝛼)·cos𝛼cos𝛼·(-cos𝛼)·sin𝛼=-sin𝛼cos𝛼=-tanα=右边.故原式得证.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练反思感悟关于三角恒等式的证明,常用方法:(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练变式训练2证明:sin(𝛼-3π)+cos(π-𝛼)sin(-𝛼)-cos(π+𝛼)=tan𝛼+1tan𝛼-1.证明左边=sin(𝛼-3π)+cos(π-𝛼)sin(-𝛼)-cos(π+𝛼)=sin(-4π+π+𝛼)-cos𝛼-sin𝛼+cos𝛼=sin(π+𝛼)-cos𝛼-sin𝛼+cos𝛼=-sin𝛼-cos𝛼-sin𝛼+cos𝛼=sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼=tan𝛼+1tan𝛼-1=右边,故原等式成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练1.tan(-600°)的值等于()解析:tan(-600°)=-tan600°=-tan(360°+240°)=-tan240°=-tan(180°+60°)=-tan60°=-答案:BA.3B.-3C.33D.-333.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练2.已知角θ的终边与单位圆交于点P-55,255,则cos(π-θ)的值为()A.-255B.-55C.55D.255解析:依题意cosθ=-55,所以cos(π-θ)=-cosθ=55.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练3.若sin(3π-α)=-255,则tan2(-α-2π)=()A.12B.-2C.14D.4解析:由sin(3π-α)=-255,可得sinα=-255,于是tan2(-α-2π)=tan2(-α)=(-tanα)2=tan2α=sin2𝛼cos2𝛼=451-45=4.答案:D4.化简:cos(3π-𝛼)sin(-π+𝛼)·tan(2π-α)=.解析:原式=cos(π-𝛼)-sin(π-𝛼)·tan(-α)=-cos𝛼-sin𝛼·-sin𝛼cos𝛼=-1.答案:-1课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练5.cos(-585°)sin495°+sin(-570°)的值等于.解析:原式=cos(360°+225°)sin(360°+135°)-sin(360°+210°)=cos225°sin135°-sin210°=-cos45°sin(180°-45°)-sin(180°+30°)=-2222+12=2-2.答案:2-2课堂篇探究学习