2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系课件 新人教A版

-1-5.2.2同角三角函数的基本关系首页课标阐释思维脉络1.理解同角三角函数基本关系式.2.能运用同角三角函数基本关系式解决求值、化简与证明问题.课前篇自主预习同角三角函数的基本关系式1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?sinαcosαtanαsin2α+cos2α𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠α30°45°60°120°提示:填表略.sin2α+cos2α=1,tanα=sin𝛼cos𝛼.一二课前篇自主预习2.填空同角的三角函数基本关系(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切,即sin𝛼cos𝛼=tan𝛼其中𝛼≠𝑘π+π2(𝑘∈Z).一二课前篇自主预习3.做一做(1)sin22019°+cos22019°=()A.0B.1C.2019D.2019°(2)若sinθ+cosθ=0,则tanθ=.答案:(1)B(2)-14.已知sinα(或cosα)的值,能否求出cosα(或sinα),tanα的值?已知sinα±cosα的值,怎样求出sinαcosα的值?提示:利用两种关系式的变形可以解决上述问题.解析:(1)由平方关系知sin22019°+cos22019°=1.(2)由sinθ+cosθ=0得sinθ=-cosθ,所以tanθ=sin𝜃cos𝜃=-cos𝜃cos𝜃=-1.一二课前篇自主预习一二二、同角三角函数基本关系式的变形1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(5)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.(1)sinα=tanα·cosα;2.商数关系tanα=sin𝛼cos𝛼𝛼≠𝑘π+π2,𝑘∈Z的变形(2)cosα=sin𝛼tan𝛼.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练利用同角三角函数关系求值角度1已知某个三角函数值,求其余三角函数值分析:已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求该角的正切值.例1(1)已知sinα=15,求cosα,tanα的值;(2)已知cosα=-35,求sinα,tanα的值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练解:(1)∵sinα=150,∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时,cosα=1-sin2𝛼=1-125=265,tanα=sin𝛼cos𝛼=612;当α为第二象限角时,cosα=-265,tanα=-612.(2)∵cosα=-350,∴α是第二或第三象限角.当α是第二象限角时,sinα0,tanα0,∴sinα=1-cos2𝛼=1-(-35)2=45,tanα=sin𝛼cos𝛼=-43;当α是第三象限角时,sinα0,tanα0,∴sinα=-1-cos2𝛼=-1-(-35)2=-45,tanα=sin𝛼cos𝛼=43.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练角度2已知tanα,求关于sinα和cosα齐次式的值例2已知tanα=2,则(3)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=.分析:注意到所求式子都是关于sinα、cosα的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cosα的整数次幂,把所求值的式子用tanα表示,将tanα=2整体代入求其值.(1)2sin𝛼-3cos𝛼4sin𝛼-9cos𝛼=;(2)2sin2𝛼-3cos2𝛼4sin2𝛼-9cos2𝛼=;课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练解析:(1)2sin𝛼-3cos𝛼4sin𝛼-9cos𝛼=2tan𝛼-34tan𝛼-9=2×2-34×2-9=-1.故填-1.(2)2sin2𝛼-3cos2𝛼4sin2𝛼-9cos2𝛼=2tan2𝛼-34tan2𝛼-9=2×4-34×4-9=57.故填57.(3)sin2α+cos2α=1,则有4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=4sin2𝛼-3sin𝛼cos𝛼-5cos2𝛼1=4sin2𝛼-3sin𝛼cos𝛼-5cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼,同(2)有4sin2𝛼-3sin𝛼cos𝛼-5cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=4tan2𝛼-3tan𝛼-5tan2𝛼+1=4×4-3×2-54+1=1.故填1.答案:(1)-1(2)57(3)1课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟已知tanα,求关于sinα和cosα齐次式的值的基本方法(1)形如𝑎sin𝛼+𝑏cos𝛼𝑐sin𝛼+𝑑cos𝛼的分式,可将分子、分母同时除以cosα;形如𝑎sin2𝛼+𝑏sin𝛼cos𝛼+𝑐cos2𝛼𝑑sin2𝛼+𝑒sin𝛼cos𝛼+𝑓cos2𝛼的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.(2)形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如𝑎sin2𝛼+𝑏sin𝛼cos𝛼+𝑐cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼的分式求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练角度3利用sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα三者之间的关系求值例3已知sinα+cosα=,α∈(0,π),求tanα的值.分析:要求tanα的值,只需求得sinα,cosα的值.而由已知条件sinα+cosα=,α∈(0,π),结合sin2α+cos2α=1,求得2sinαcosα的值,进而求得sinα-cosα的值,从而得到sinα,cosα的值,问题得解.1515课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练解:∵sinα+cosα=15,①将其两边同时平方,得1+2sinαcosα=125,∴2sinαcosα=-2425.∵α∈(0,π),∴cosα0sinα.∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925,∴sinα-cosα=75.②由①②得sinα=45,cosα=-35.∴tanα=sin𝛼cos𝛼=-43.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟1.由(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα可知如果已知sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.2.sinθ±cosθ的符号的判定方法:(1)sinθ-cosθ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sinθ=cosθ,即sinθ-cosθ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sinθcosθ,即sinθ-cosθ0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sinθcosθ,即sinθ-cosθ0.如图①所示.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练(2)sinθ+cosθ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sinθ=-cosθ,即sinθ+cosθ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sinθ-cosθ,即sinθ+cosθ0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sinθ-cosθ,即sinθ+cosθ0.如图②所示.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练变式训练1(1)若cosα+2sinα=5,则tanα=()A.12B.2C.-12D.-2(2)已知2cos2α-3sinαcosα=910,求tanα的值;(3)已知sinθ-cosθ=12,求sin3θ-cos3θ的值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练(1)解析:(方法一)由cos𝛼+2sin𝛼=5,sin2𝛼+cos2𝛼=1,解得sin𝛼=255,cos𝛼=55,所以tanα=sin𝛼cos𝛼=2.(方法二)∵cosα+2sinα=5,∴(cosα+2sinα)2=5,则(cos𝛼+2sin𝛼)2sin2𝛼+cos2𝛼=5,即cos2𝛼+4sin2𝛼+4sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=5,∴1+4tan2𝛼+4tan𝛼1+tan2𝛼=5,解得tanα=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练(方法三)设tanα=sin𝛼cos𝛼=t,则sinα=tcosα,代入题设cosα+2sinα=5,得sinα=5𝑡2𝑡+1,cosα=52𝑡+1,又sin2α+cos2α=1,所以t=2.(方法四)(秒杀解:)注意到本题中的勾股数为(1,2,5),因此可以用15,25代入条件式验证,注意到15+2×25=5,因此有sin𝛼=255,cos𝛼=55,所以tanα=sin𝛼cos𝛼=2.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练(2)解:由题中等式易知cosα≠0,则2cos2α-3sinαcosα=2cos2𝛼-3sin𝛼cos𝛼1=2cos2𝛼-3sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2-3tan𝛼1+tan2𝛼=910,整理得9tan2α+30tanα-11=0,即(3tanα-1)·(3tanα+11)=0,解得tanα=13或tanα=-113.(3)解:将sinθ-cosθ=12两边同时平方,得1-2sinθcosθ=14,从而可得sinθcosθ=38,故sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)=121+38=1116.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练利用同角三角函数关系化简例4化简下列各式:分析:(1)对分子利用诱导公式一化简,对分母利用平方关系的变形化简;(2)先对被开方式通分化简,再化简根式.(1)sin760°1-cos240°;(2)tan𝛼1sin2𝛼-1(其中α是第二象限角).课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练解:(1)sin760°1-cos240°=sin(2×360°+40°)sin240°=sin40°|sin40°|=sin40°sin40°=1.(2)因为α是第二象限角,所以sinα0,cosα0.故tan𝛼1sin2𝛼-1=tan𝛼1-sin2𝛼sin2𝛼=tan𝛼cos2𝛼sin2𝛼=sin𝛼cos𝛼·cos𝛼sin𝛼=sin𝛼cos𝛼·-cos𝛼sin𝛼=-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.课堂篇探究学习探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练变式训练2化简:(1)sin𝜃-cos�