2019-2020学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入本章整合课件 北师大版选修1-2

-1-本章整合知识建构复数复数的有关概念复数的分类实数虚数纯虚数非纯虚数复数相等复数的几何意义复数的模共轭复数复数的四则运算复数的加法、减法法则复数的乘法法则复数的除法法则综合应用专题一专题二专题三专题四专题一复数的有关概念解决复数问题,首先要弄清复数的有关概念,对于复数z=a+bi(a,b∈R),实部是a,虚部是b而不是bi,复数的模|z|=𝑎2+𝑏2.复数𝑧的共轭复数为𝑧=𝑎−𝑏i,且𝑧𝑧=|𝑧|2.综合应用专题一专题二专题三专题四应用1复数21+i的模是()A.1B.2C.2D.22提示:先把复数化简,再求复数的模即可,亦可直接求模如方法二.答案:B解析:(方法一)设z=21+i,则z=2(1-i)(1+i)(1-i)=1−i,所以|z|=2.(方法二)21+i=22=2.综合应用专题一专题二专题三专题四应用23i1-i的共轭复数是()A.−32+32iB.32+32iC.−32−32iD.32−32i提示:先根据复数的除法运算进行化简,再确定复数的实部、虚部,即可写出其共轭复数.解析:3i1-i=3i(1+i)(1-i)(1+i)=3(i-1)2=−32+32i,所以它的共轭复数为−32−32i.答案:C综合应用专题一专题二专题三专题四应用3设z是虚数,ω=z+1𝑧是实数,且−1𝜔2.求|𝑧|的值及𝑧的实部的取值范围.提示:先设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0),再代入化简,表示出|z|及其实部的范围,也可根据复数是实数的充要条件ω∈R⇔ω=𝜔转化得到𝑧𝑧=|𝑧|2求出.综合应用专题一专题二专题三专题四解法一:设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0),则ω=z+1𝑧=(𝑎+𝑏i)+1𝑎+𝑏i=a+bi+𝑎-𝑏i𝑎2+𝑏2=𝑎+𝑎𝑎2+𝑏2+𝑏-𝑏𝑎2+𝑏2i,∵ω为实数,∴b−𝑏𝑎2+𝑏2=0.∵b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1.∴ω=2a.∵-1ω2,∴-12a2.∴−12𝑎1.故复数z的实部的取值范围是-12,1.综合应用专题一专题二专题三专题四解法二∵ω为实数,∴ω=𝜔.∴z+1𝑧=𝑧+1𝑧.∴(z−𝑧)1-1𝑧𝑧=0.∵z为虚数,∴z−𝑧≠0.∴1−1𝑧𝑧=0,∴𝑧𝑧=|𝑧|2=1,即|z|=1.∴1𝑧=𝑧.设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0),则ω=z+1𝑧=𝑧+𝑧=2𝑎.∵-1ω2,∴-12a2.∴−12𝑎1.故复数z的实部的取值范围是-12,1.综合应用专题一专题二专题三专题四专题二复数的分类复数分为实数、虚数,虚数又包括纯虚数和非纯虚数,要判断一个复数是不是为实数可根据定义判断,也可由z与𝑧是否相等来判断,要判定一个复数为纯虚数,根据定义需满足实部为零且虚部不为零,或由𝑧+𝑧=0(𝑧≠0)来判断.综合应用专题一专题二专题三专题四应用1已知复数μ与z的关系为μ=1-𝑧1+𝑧,其中|𝑧|=1,𝑧为虚数.求证:𝜇为纯虚数.提示:本题可先把z设出,再进行运算化简确定μ的实部与虚部,也可由μ与它的共轭复数𝜇之间的关系μ=−𝜇来判断.证法一:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0).由|z|=1,得a2+b2=1,∴μ=1-𝑧1+𝑧=1-(𝑎+𝑏i)1+𝑎+𝑏i=[(1-𝑎)-𝑏i][(1+𝑎)-𝑏i](1+𝑎)2+𝑏2=(1-𝑎2)-𝑏2-𝑏(1+𝑎+1-𝑎)i(1+𝑎)2+𝑏2=1-𝑎2-𝑏2-2𝑏i(1+𝑎)2+𝑏2=−2𝑏(1+𝑎)2+𝑏2i.∵b≠0,∴μ为纯虚数.综合应用专题一专题二专题三专题四证法二∵|z|=1,∴𝑧𝑧=1.∴μ=1-𝑧1+𝑧=𝑧𝑧-𝑧𝑧𝑧+𝑧=𝑧-1𝑧+1=𝑧-1𝑧+1=−𝜇,∴μ+𝜇=0.∴𝜇为纯虚数.综合应用专题一专题二专题三专题四应用2已知z为复数,|z|=1,且z≠±i,证明:𝑧1+𝑧2是实数.提示:z为复数,可先设出z=x+yi(x,y∈R),再进行运算、判断;也可先把|z|=1转化为𝑧𝑧=1,即1𝑧=𝑧,再进一步化简𝑧1+𝑧2.综合应用专题一专题二专题三专题四证法一设z=x+yi(x,y∈R),则𝑧1+𝑧2=𝑥+𝑦i1+(𝑥+𝑦i)2=𝑥+𝑦i1+𝑥2-𝑦2+2𝑥𝑦i=(𝑥+𝑦i)(1+𝑥2-𝑦2-2𝑥𝑦i)(1+𝑥2-𝑦2)2+4𝑥2𝑦2=𝑥(1+𝑥2-𝑦2)+2𝑥𝑦2-2𝑥2𝑦i+𝑦(1+𝑥2-𝑦2)i(1+𝑥2-𝑦2)2+4𝑥2𝑦2=(𝑥+𝑥3+𝑥𝑦2)+(𝑦-𝑥2𝑦-𝑦3)i(1+𝑥2-𝑦2)2+4𝑥2𝑦2.∵|z|=1,∴x2+y2=1.∴y-x2y-y3=y(1-x2-y2)=0.∴𝑧1+𝑧2=2𝑥(1+𝑥2-𝑦2)2+4𝑥2𝑦2∈R,即𝑧1+𝑧2是实数.综合应用专题一专题二专题三专题四证法二:∵|z|=1,∴𝑧𝑧=1.∴1𝑧=𝑧.∴𝑧1+𝑧2=11𝑧+𝑧=1𝑧+𝑧.设z=a+bi(a,b∈R),则z+𝑧=2𝑎∈R,∴𝑧1+𝑧2为实数.综合应用专题一专题二专题三专题四专题三复数的几何意义复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内唯一对应着点Z(a,b),也唯一对应着向量𝑂𝑍=(𝑎,𝑏).向量𝑂𝑍的模|𝑂𝑍|就是复数𝑧的模,也是点𝑍到原点𝑂的距离.综合应用专题一专题二专题三专题四应用1设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|1,z∈C},若z∈A∩(∁UB),求复数z在复平面内的对应点的轨迹.提示:求复数z在复平面内的对应点的轨迹,借助复数模的几何意义可知,只需求|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∁UB)及集合的运算即可得出.解:∵z∈C,∴|z|∈R,∴1-|z|∈R.由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,∴A={z||z|≤1}.又B={z||z|1,z∈C},∴∁UB={z||z|≥1,z∈C}.∵z∈A∩(∁UB)等价于z∈A,且z∈∁UB,由模的几何意义知,复数z在复平面内的对应点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.∴|𝑧|≤1,|𝑧|≥1⇒|z|=1.综合应用专题一专题二专题三专题四应用2设实部为正数的复数z满足|z|=5,且复数1+3i𝑧在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数z;(2)若复数𝑧+𝑚2(1+i)−2i+2𝑚−5为纯虚数,求实数𝑚的值.综合应用专题一专题二专题三专题四解:(1)设z=a+bi(a,b∈R,且a0),由|z|=5,得a2+b2=5.又复数(1+3i)(a+bi)=(a-3b)+(3a+b)i在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,则a-3b=3a+b,即a=-2b.联立𝑎=-2𝑏,𝑎2+𝑏2=5,解得𝑎=2,𝑏=-1或𝑎=-2,𝑏=1(舍去),故z=2-i.(2)由题意,得𝑧+𝑚2(1+i)−2i+2𝑚−5=𝑚2+2𝑚−3+(𝑚2−1)i,又因为复数𝑧+𝑚2(1+i)−2i+2𝑚−5为纯虚数,得𝑚2-1≠0,𝑚2+2𝑚-3=0,解得m=-3.即实数m的值为-3.综合应用专题一专题二专题三专题四专题四复数的四则运算复数的加法、减法、乘法运算与多项式运算类似,复数的除法运算类似于分母有理化,利用𝑧𝑧=𝑧2为实数,将除法运算转化为乘法运算,注意一些特殊值的运算:(1)i的乘方运算;(2)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;(3)1+i1-i=i,1-i1+i=−i;(4)若ω=−12+32i,则1+𝜔+𝜔2=0.综合应用专题一专题二专题三专题四应用𝟏22+22i2的值为()A.iB.-iC.1D.-1提示:先提取22,分为22和1+i两部分的平方计算.解析:22+22i2=22(1+i)2=12(1+i)2=i.答案:A综合应用专题一专题二专题三专题四应用2满足z+5𝑧是实数,且𝑧+3的实部与虚部互为相反数的复数𝑧是否存在?若存在,求出复数𝑧;若不存在,请说明理由.解:设复数z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),则z+3=x+3+yi,z+5𝑧=𝑥+𝑦i+5𝑥+𝑦i=𝑥+5𝑥𝑥2+𝑦2+𝑦-5𝑦𝑥2+𝑦2i.由已知,得𝑦-5𝑦𝑥2+𝑦2=0,𝑥+3=-𝑦.∵y≠0,∴𝑥2+𝑦2=5,𝑥+𝑦=-3,解得𝑥=-1,𝑦=-2或𝑥=-2,𝑦=-1.∴存在复数z=-1-2i或z=-2-i满足题意.123456789101(2018·北京高考)在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由11-i=1+i(1-i)(1+i)=1+i2=12+12i,得其共轭复数为12−12i,而在复平面内,12−12i对应的点的坐标为12,-12,得点12,-12位于第四象限,故选D.答案:D123456789102(2018·全国1高考)设z=1-i1+i+2i,则|𝑧|=()A.0B.12C.1D.2解析:因为z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.答案:C1234567891011123(2018·全国2高考)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i解析:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.答案:D123456789104(2018·全国3高考)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i解析:(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.答案:D123456789105(2018·浙江高考)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析:∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∴复数21-i的共轭复数为1-i.答案:B123456789106(2017·全国1高考)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)解析:∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.答案:C123456789107(2017·全国3高考)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点的坐标为(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.答案:C123456789108(2018·天津高考)i是虚数单位,复数6+7i1+2i=________________.解析:6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=4−i.答案:4-i123456789109(2018·上海高考)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=.解析:(方法一)因为(1+i)z=1-7i,所以z=1-7i1+i=(1-7i)(1-i)(1+i)(1-i)=-6-8i2=−3−4i,所以|z|=|-3-4i|=32+42=5.(方法二)因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i||z|=|1-7i|,即2|𝑧|=52,解得|z|=5.答案:51234567891010(2018·江苏高考)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为.解析:由i·z=1+2i,得复数z=1+2ii=(1+2i)(−i)=2−i,即z的实部是2.答案:2