2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 2 数学证明课件 北师大版选修1-2

-1-§2数学证明目标导航1.理解演绎推理的概念.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理.3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.知识梳理1.合情推理的结论有时是不正确的,对于数学命题,需要通过演绎推理严格证明.2.演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,叫作演绎推理.3.三段论是最常见的一种演绎推理形式.第一段讲的是一般性道理,称为大前提;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为小前提;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为结论.先表述大前提、小前提,由此给出结论,即为三段论推理的形式.在应用三段论进行证明的过程中,因为有些大前提是人们熟知的,所以在书写时这类大前提往往被省略.知识梳理4.三段论的一般模式M是P……(大前提)S是M……(小前提)S是P……(结论)知识梳理【做一做1】因为对数函数y=logax(a0,且a≠1)是增函数,而y=log12𝑥也是对数函数,所以𝑦=log12𝑥是增函数,上面的推理错误的原因是()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论错误解析:原题推理过程中三段论的大前提“对数函数y=logax(a0,且a≠1)是增函数”是错误的,因为只有当a1时,对数函数y=logax(a0,且a≠1)才是增函数,故选A.答案:A知识梳理【做一做2】三段论“①只有船准时起航,才能准时到达目的地,②这艘船是准时到达目的地的,③这艘船是准时起航的”中的小前提是.(填序号)答案:②知识梳理5.在数学中,证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来.6.合情推理是认识世界、发现问题的基础;演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础.典例透析题型一题型二题型三题型四用三段论的形式证明【例1】在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AB,AC和BD是它的对角线.求证:CA平分∠BCD,BD平分∠CBA.(提示:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提.)典例透析题型一题型二题型三题型四证明:等腰三角形两底角相等,大前提△DAC是等腰三角形,DA,DC为两腰,小前提所以∠1=∠2.结论两条平行线被第三条直线截出的内错角相等,大前提∠1和∠3是平行线AD,BC被AC截出的内错角,小前提所以∠1=∠3.结论等于同一个量的两个量相等,大前提∠2和∠3都等于∠1,小前提所以∠2=∠3,结论即CA平分∠BCD.同理BD平分∠CBA.典例透析题型一题型二题型三题型四反思命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论.事实上,每一次三段论的大前提可以不写,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可不写,即过程可简写.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求证:以an=2n+3为通项公式的数列{an}为等差数列.(提示:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提.)证明:对于数列{an},如果当n≥2时,an-an-1为同一常数,那么{an}为等差数列.大前提对于通项公式an=2n+3,若n≥2,则an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),小前提故以an=2n+3为通项公式的数列{an}为等差数列.结论典例透析题型一题型二题型三题型四用三段论证明几何问题【例2】如图,在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,求证:EF∥平面BCD.证明:三角形的中位线平行于第三边(大前提),点E,F分别是AB,AD的中点(小前提),所以EF∥BD(结论).若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则这条直线与此平面平行(大前提),EF⊈平面BCD,BD⫋平面BCD,EF∥BD(小前提),所以EF∥平面BCD(结论).典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.三段论推理的根据,从集合的观点来讲,就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,则S中所有元素都具有性质P.2.在几何证明题中,每一步实际上都暗含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,把一般性原理用于特殊情况,从而得到结论.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)若AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;(2)若G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,BD⫋平面BDEF,DE⫋平面BDEF,所以AC⊥平面BDEF.因为FB⫋平面BDEF,所以AC⊥FB.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,HI⫋平面GHI,GI⫋平面GHI,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⫋平面GHI,所以GH∥平面ABC.典例透析题型一题型二题型三题型四用三段论证明代数问题【例3】已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列,且bn=1𝑎2𝑛(𝑛=1,2,3,…),求证:数列{𝑏𝑛}为等比数列.证明:因为lga1,lga2,lga4成等差数列,所以2lga2=lga1+lga4,得𝑎22=𝑎1𝑎4.设数列{an}的公差为D,即(a1+D)2=a1(a1+3D),a1D=D2,从而D(D-a1)=0.若D=0,则数列{an}为常数列,相应的数列{bn}也是常数列,此时{bn}是首项为正数,公比为1的等比数列.若D=a1≠0,典例透析题型一题型二题型三题型四则𝑎2𝑛=𝑎1+(2𝑛−1)𝑑=2𝑛𝑑,𝑏𝑛=1𝑎2𝑛=12𝑛𝑑.此时数列{bn}是首项为12𝑑,公比为12的等比数列.综上可知,数列{bn}为等比数列.典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.在证明或推理过程中,对于大前提,有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式,这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用,不需要重新指出.因此,就会出现隐性三段论.2.本题在推理过程中,看似未用到演绎推理的三段论,其实不然.只是大前提“等比数列的判定方法”在证明过程中省略了,但并不影响结论的正确性.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知函数f(x)=𝑎𝑥+𝑏𝑥,其中𝑎0,𝑏0,𝑥∈(0,+∞),试确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.解:∵a0,b0,x∈(0,+∞),∴令f'(x)=−𝑎𝑥2+𝑏=0,得x=𝑎𝑏.当0x𝑎𝑏时,−𝑎𝑥2+𝑏0,即f'(x)0,∴f(x)在0,𝑎𝑏上是减少的;当x𝑎𝑏时,−𝑎𝑥2+𝑏0,即f'(x)0,∴f(x)在𝑎𝑏,+∞上是增加的.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点因大前提、小前提或推理形式错误导致结论错误【例4】如图,在△ABC中,|AC||BC|,CD是AB边上的高,求证:∠ACD∠BCD.错解:证明:在△ABC中,因为CD⊥AB,|AC||BC|,所以|AD||BD|,于是∠ACD∠BCD.错因分析:上面的证明过程中由|AD||BD|得出∠ACD∠BCD是错误的.因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:证明:在△ABC中,因为CD⊥AB,所以∠ACD+∠A=∠BCD+∠B=90°.又|AC||BC|,所以∠B∠A,所以∠ACD∠BCD.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】如图,已知S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.求证:AB⊥BC.解:如图,过点A作AE⊥SB于点E.因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,所以AE⊥平面SBC,所以BC⊥AE.又因为SA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,所以SA⊥BC.又AE∩SA=A,AE,SA⫋平面SAB,所以BC⊥平面SAB.又因为AB⫋平面SAB,所以BC⊥AB.1234561.下列三句话按“三段论”模式排列正确的是()①y=sinx(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=sinx(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①答案:B1234562.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理是()A.小前提错误B.结论错误C.正确的D.大前提错误答案:C1234563.一个三段论的三个步骤,分别为:①正方形的对边相等;②平行四边形的对边相等;③正方形是平行四边形.根据这个三段论推理得出一个结论,则这个结论是()A.①B.②C.③D.其他答案:A1234564.如图,α⊥β,α∩β=l,P∈α,PO⊥l交l于点O,则可以得到的结论是.解析:由面面垂直的性质定理知PO⊥β.答案:PO⊥β1234565.函数y=2x+5的图像是一条直线,用三段论表示为:大前提:;小前提:;结论:.答案:一次函数的图像是一条直线函数y=2x+5是一次函数函数y=2x+5的图像是一条直线1234566.如图,D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA.求证:ED=AF.(提示:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提)123456证明:同位角相等,两条直线平行,大前提∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提DE∥BA,且DF∥EA,小前提所以四边形AEDF为平行四边形.结论平行四边形的对边相等,大前提ED和AF为平行四边形的对边,小前提所以ED=AF.结论