2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算课件 新

-1-3.1空间向量及其运算-2-3.1.1空间向量及其加减运算目标导航1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解向量减法的几何意义.知识梳理1.向量的有关概念(1)在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.(2)向量的表示法:①几何表示法:用有向线段表示;②字母表示法:用a,b,c,…表示或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示.如图,此向量的起点是A,终点是B,可记a,其模记为__________或|a|.|𝐴𝐵|作𝐴𝐵,也可记作知识梳理(3)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任意的.当有向线段的起点A与终点B(4)单位向量:模为1的向量.(5)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a.(6)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.归纳总结1.注意区分向量与有向线段:向量可用有向线段表示,但不能说有向线段就是向量.2.零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题时一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”.3.任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.重合时,𝐴𝐵=0.知识梳理【做一做1】下列说法错误的是()A.所有零向量的模相等B.模相等的向量不一定是相等向量C.零向量没有方向D.一个向量与其相反向量的模相等答案:C知识梳理2.向量的加减运算(1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.类似于平面向量,定义空间向量的加减运算如下:如图①,𝑂𝐵=𝑂𝐴+𝐴𝐵=a+b.如图②,𝐵𝐴=𝐵𝐶+𝐵𝐷=a+b;𝐷𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝐷=a-b.(2)空间向量的加法运算满足:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c).知识梳理名师点拨1.首尾相接的若干个向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.2.向量减法是向量加法的逆运算,减去一个向量𝐴𝐵等于加上这个向量的相反向量𝐵𝐴.知识梳理【做一做2】在三棱柱ABC-A1B1C1中,若𝐶𝐴=a,𝐶𝐵=b,𝐶𝐶1=c,则𝐴1𝐵等于()A.a+b-cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c答案:D解析:如图,𝐴1𝐵=𝐴1𝐴+𝐴𝐵=𝐶1𝐶+𝐶𝐵−𝐶𝐴=−c+b-a.重难聚焦空间向量的加减法剖析:(1)求两个空间向量和的运算,叫做空间向量的加法.(2)空间向量加法的三角形法则.如图所示,若𝑂𝐴=a,𝐴𝐵=b,则𝑂𝐵=𝑂𝐴+𝐴𝐵=a+b.使用三角形法则要特别注意“首尾相接”.重难聚焦(3)空间向量加法的平行四边形法则.先把已知的两个空间向量的起点平移到同一点,再以这两个向量为邻边作平行四边形,则这两条邻边所夹的平行四边形的对角线所在的向量(起点与平移后的两个向量的起点相同)就是这两个已知向量的和.如图,若𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=b,则𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐶=a+b.重难聚焦(4)向量的减法是由向量的加法来定义的:减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.由此可以推出向量等式的移项方法,即将其中任意一个向量变号后,从等式一端移到另一端,等式仍然成立.例如,由a+b+c=d,得a+b=d-c.(5)向量减法的作图法:因为(a-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a,所以求a-b就是求这样一个向量,它与b的和等于a,从而得出a-b的作图法.重难聚焦(6)向量减法的几何作法:如右图,在平面内任取一点O,作𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,则𝐵𝐴=a-b,即a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.典例透析题型一题型二空间向量的概念【例1】给出以下命题:①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;其中正确的命题序号为.③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有𝐴𝐶=𝐴1𝐶1;典例透析题型一题型二解析:命题①,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,却不一定有起点相同,终点相同,故①错;命题②,根据向量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,方向还要相同,故②错;命题③,符合两个向量相等的条件,故③正确;命题④,由向量相等的定义知正确;答案:③④反思对于概念题,能准确熟练地掌握有关概念,特别是细微之处的差别,是解决这类问题的关键.典例透析题型一题型二【变式训练1】下列命题中,是假命题是()B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.单位向量都相等选项B中,∵两个相等向量的起点相同,∴必有终点相同;选项C中,由零向量的定义可知|0|=0;选项D中,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故不一定相等.故选D.答案:DA.向量𝐴𝐵与𝐵𝐴的长度相等解析:选项A中,𝐴𝐵与𝐵𝐴为相反向量,长度相等;典例透析题型一题型二空间向量的加减运算解析:①(𝐴𝐵+𝐵𝐶)+𝐶𝐶1=𝐴𝐶+𝐶𝐶1=𝐴𝐶1,②(𝐴𝐴1+𝐴1𝐷1)+𝐷1𝐶1=𝐴𝐷1+𝐷1𝐶1=𝐴𝐶1,③(𝐴𝐵+𝐵𝐵1)+𝐵1𝐶1=𝐴𝐵1+𝐵1𝐶1=𝐴𝐶1,④(𝐴𝐴1+𝐴1𝐵1)+𝐵1𝐶1=𝐴𝐵1+𝐵1𝐶1=𝐴𝐶1.答案:D【例2】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量𝐴𝐶1的共有()①(𝐴𝐵+𝐵𝐶)+𝐶𝐶1;②(𝐴𝐴1+𝐴1𝐷1)+𝐷1𝐶1;③(𝐴𝐵+𝐵𝐵1)+𝐵1𝐶1;④(𝐴𝐴1+𝐴1𝐵1)+𝐵1𝐶1.A.1个B.2个C.3个D.4个典例透析题型一题型二(2)证明空间向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).证明:①若向量a,b,c共面,则由平面向量的运算律可知结论成立.②若向量a,b,c不共面,作平行六面体ABCD-A'B'C'D',使𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴'=c,如图所示,则有(a+b)+c=(𝐴𝐵+𝐴𝐷)+𝐴𝐴'=𝐴𝐶+𝐶𝐶'=𝐴𝐶';a+(b+c)=𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴’=𝐴𝐵+𝐴𝐷’=𝐴𝐵+𝐵𝐶'=𝐴𝐶'.故(a+b)+c=a+(b+c).由①②知结论成立.典例透析题型一题型二反思空间向量加法与减法运算的技巧:(1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活运用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.典例透析题型一题型二【变式训练2】已知空间四边形ABCD中,𝐴𝐵=a,𝐶𝐵=b,𝐴𝐷=c,则𝐶𝐷等于()A.a+b-cB.-a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c解析:𝐶𝐷=𝐶𝐵+𝐵𝐴+𝐴𝐷=𝐶𝐵−𝐴𝐵+𝐴𝐷=b-a+c=-a+b+c,故选C.答案:C典例透析