2019-2020学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一）课件 新人教A版必

-1-3.4函数的应用(一)首页课标阐释思维脉络1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.会应用一次、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题.课前篇自主预习利用具体函数模型解决实际问题1.常见的数学模型有哪些?提示:利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容,具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,希望同学们能重点运用一次函数、二次函数、、幂函数和分段函数等常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型:(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=𝑘𝑥+b(k,b为常数,k≠0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.课前篇自主预习2.数学模型可以用下面的图表来表示解决过程.课前篇自主预习3.做一做假设某种商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a,广告效应D=R-A,则当A=时,取得最大的广告效应.𝐴解析D=a𝐴-A=-(𝐴)2+a𝐴=-𝐴-𝑎22+𝑎24.当𝐴=𝑎2,即A=𝑎24时,D取得最大值.答案:(1)D(2)𝑎24课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一次函数模型的应用例1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套解析:因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.答案:D反思感悟一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠一个茶杯;(2)按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由优惠办法(2)可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4≤x34时,y1y2,即优惠办法(1)更省钱;当x34时,y1y2,优惠办法(2)更省钱.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练二次函数模型的应用例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.6𝑡课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-1206𝑡,令6𝑡=x,则x2=6t,即t=𝑥26,所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,∴当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨.(2)令400+10x2-120x80,即x2-12x+320,解得4x8,即46𝑡8,83t323.因为323−83=8,所以每天约有8小时出现供水紧张现象.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练分段函数模型的应用例3某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?分析:利润=销售收入-总的成本.由于本题中的销量只能为500件,但生产的数量不确定,所以模型确定为分段函数模型.12课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)当0x≤5时,产品全部售出,当x5时,产品只能售出500件.所以,所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125(万元).当x5时,f(x)12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.f(x)=5𝑥-12𝑥2-(0.5+0.25𝑥)(0𝑥≤5),5×5-12×52-(0.5+0.25𝑥)(𝑥5),即f(x)=-12𝑥2+4.75𝑥-0.5(0𝑥≤5),12-0.25𝑥(𝑥5).(2)当0x≤5时,f(x)=-12x2+4.75x-0.5,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)=假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).(2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?-0.4𝑥2+4.2𝑥,0≤𝑥≤5,11,𝑥5.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)由题意得G(x)=2.8+x.∴f(x)=R(x)-G(x)=-0.4𝑥2+3.2𝑥-2.8,0≤𝑥≤5,8.2-𝑥,𝑥5.(2)当x5时,∵函数f(x)单调递减,∴f(x)8.2-5=3.2(万元).当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元.故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练幂函数模型的应用例4某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c如图所示.(1)求函数y1,y2的解析式;(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练分析:函数图象y1与y2的解析式总利润y=y1+y2最大利润解:(1)P1:y1=axn过点(1,1.25),(4,2.5),∴1.25=54=𝑎·1𝑛,2.5=52=𝑎·4𝑛.∴𝑎=54,𝑛=12,∴y1=54𝑥12,x∈[0,+∞).P2:y2=bx+c过点(0,0),(4,1),∴𝑐=0,𝑏=14,∴y2=14x,x∈[0,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(2)设用x万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润为y万元.根据题意得y=54𝑥12+14(10-x)=-14(𝑥)2+54𝑥+104=-14𝑥-522+6516(0≤x≤10),当且仅当𝑥=52,即x=254=6.25时,ymax=6516,投资乙商品为10-6.25=3.75(万元).所以用6.25万元投资甲商品,3.75万元投资乙商品,才能获得最大利润.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练失误警示造成失分的原因如下:(1)观察图象不仔细,弄错点的坐标而导致出错;(2)计算不过关,将函数解析式求错;(3)二次函数图象与性质理解不透彻,将函数最值求错.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)A:y=k1x过点(1,0.5),∴k1=12.B:y=k2xα过点(4,2.5),(9,3.75),∴𝑘2·4𝛼=2.5,𝑘2·9𝛼=3.75.∴𝑘2=54,𝛼=12.∴A:y=12x(x≥0),B:y=54𝑥(x≥0).(2)设投资B产品x(百万元),则投资A产品(10-x)(百万元),总利润y=12(10-x)+54𝑥=-12𝑥-542+18532(0≤x≤10).所以当𝑥=1.25,x=1.5625≈1.56时,ymax≈5.78.故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错典例如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b