2019-2020学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法（第2课时）分段函

-1-第2课时分段函数首页课标阐释思维脉络1.了解分段函数的概念.2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.课前篇自主预习分段函数1.(1)教材P68例5,在画函数图象时,将函数y=|x|化简得到提示:当x≥0和x0时,这个函数表达式不一样,也就是对应关系不同.(2)作出函数y=2x(x∈R)的图象,再作出y=x2(x∈R)的图象.把这两个图象放在同一个直角坐标系中还能表示函数图象吗?提示:函数y=2x(x∈R)和y=x2(x∈R)合起来不能表示函数图象,因为取某个x值时,y值不一定唯一.y=𝑥,𝑥≥0,-𝑥,𝑥0.这个函数有什么特点?课前篇自主预习(3)在同一个直角坐标系中分别画出函数y=2x(x0)和y=x2(x≥0)的图象,这两个函数图象合起来还能表示函数图象吗?如何写它的解析式?提示:可以表示函数图象,因为符合函数定义,解析式可写为提示:不管分段函数分了几段,它都是一个函数,不要把它误认为是几个函数.(5)请举出几个实际生活中分段函数的例子.提示:实际生活中,出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.y=2𝑥,𝑥0,𝑥2,𝑥≥0.(4)类似y=𝑥,𝑥≥0,-𝑥,𝑥0和y=2𝑥,𝑥0,𝑥2,𝑥≥0的函数叫分段函数.分段函数是一个函数还是两个函数?课前篇自主预习2.填空如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.课前篇自主预习3.做一做(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为.(1)函数f(x)=𝑥-1,𝑥0,0,𝑥=0,𝑥+1,𝑥0,则f𝑓12的值是()A.12B.-12C.32D.-32(2)由题图可知,当x∈[-2,4]时,f(x)∈[-2,3];当x∈[5,8]时,f(x)∈[-4,2.7].故函数f(x)的值域为[-4,3].答案:(1)A(2)[-4,3]解析:(1)f12=12-1=-12,f-12=-12+1=12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法求分段函数的求值例1已知函数f(x)=𝑥+2,𝑥0,𝑥2,0≤𝑥2,12𝑥,𝑥≥2,(1)求f𝑓𝑓-12的值;(2)若f(x)=2,求x的值.(2)分别令x+2=2,x2=2,12x=2,分段求x并验证.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)f-12=-12+2=32,∴f𝑓-12=f32=322=94,∴f𝑓𝑓-12=f94=12×94=98.(2)当f(x)=x+2=2时,x=0,不符合x0.当f(x)=x2=2时,x=±2,其中x=2符合0≤x2.当f(x)=12x=2时,x=4,符合x≥2.综上,x的值是2或4.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求自变量取值的步骤(1)先确定自变量,可能存在的区间及其对应的函数解析式.(2)再将函数值代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出自变量的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法延伸探究在本例已知条件下,若f(x)0,求x的取值范围.解:∵f(x)0,∴𝑥0,𝑥+20或0≤𝑥2,𝑥20或𝑥≥2,12𝑥0,∴-2x0或0x2或x≥2,∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法分段函数的图象例2画出下列函数的图象,并写出它们的值域:(1)y=1𝑥,0𝑥1,2𝑥,𝑥≥1;(2)y=|x+1|+|x-3|.分析:先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)函数y=1𝑥,0𝑥1,2𝑥,𝑥≥1的图象如图①,观察图象,得函数的值域为(1,+∞).(2)将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数y=-2𝑥+2,𝑥≤-1,4,-1𝑥≤3,2𝑥-2,𝑥3,它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1下列图形是函数y=𝑥2,𝑥0,𝑥-1,𝑥≥0的图象的是()随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);当x0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.答案:C随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练根据分段函数图象求解析式例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解析:根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0).∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.∴当1x3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1x3).综上可知,∴𝑘+𝑏=1,𝑏=2,解得𝑘=-1,𝑏=2.所求函数的解析式为y=-𝑥+2,𝑥≤1,-𝑥2+4𝑥-2,1𝑥3,𝑥-2,𝑥≥3.答案:y=-𝑥+2,𝑥≤1,-𝑥2+4𝑥-2,1𝑥3,𝑥-2,𝑥≥3课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为.解析:∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得f(x)=𝑥+1,-1≤𝑥0,-𝑥,0≤𝑥≤1.答案:f(x)=𝑥+1,-1≤𝑥0,-𝑥,0≤𝑥≤1课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练分段函数在实际中的应用例4某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示.第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)P=15𝑡+2,0𝑡≤20,𝑡∈N*,-110𝑡+8,20𝑡≤30,𝑡∈N*.(2)设Q=at+b(a,b为常数),将(4,36)与(10,30)的坐标代入,得4𝑎+𝑏=36,10𝑎+𝑏=30.解得𝑎=-1,𝑏=40.日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q=40-t,0t≤30,t∈N*.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练(3)由(1)(2)可得y=(15𝑡+2)×(40-𝑡),0𝑡≤20,(-110𝑡+8)×(40-𝑡),20𝑡≤30.即y=-15𝑡2+6𝑡+80,0𝑡≤20,𝑡∈N*,110𝑡2-12𝑡+320,20𝑡≤30,𝑡∈N*.当0t≤20时,当t=15时,ymax=125;当20t≤30时,y=110t2-12t+320在(20,30]上结合二次函数图象(略)知,yy(20)y(15)=125.所以,第15日交易额最大,最大值为125万元.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它,其定义域、值域分别是各段定义域、值域的并集.解实际问题时要结合实际意义写出定义域.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练3某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).每个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个汽车站,求票价y(元)关于里程x(千米)的函数解析式,并画出图象.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:设票价为y元,里程为x千米,根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}.由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.y=2,0𝑥≤5,3,5𝑥≤10,4,10𝑥≤15,5,15𝑥≤19(x∈N*).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练利用数形结合思想求方程根的个数典例对于m不同的取值范围,讨论方程x2-4|x|+5=m的实根的个数.分析:可考虑给定方程左侧对应函数的图象,即画出函数y=x2-4|x|+5的图象,看图象与直线y=m的交点个数的变化便可得出结论.解:将方程x2-4|x|+5=m实根的个数问题转化为函数y=x2-4|x|+5的图象与直线y=m的交点个数问题.作出图象,如图所示.y=x2-4|x|+5=𝑥2-4𝑥+5,𝑥≥0,𝑥2+4𝑥+5,𝑥0,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练当m1时,直线y=m与该图象无交点,故方程无解.当m=1时,直线y=m与该图象有两个交点,故方程有两个实根.当1m5时,直线y=m与该图象有四个交点,故方程有四个实根.当m=5时,直线y=m与该图象有三个交点,故方程有三个实根.当m5时,直线y=m与该图象有两个交点,故方程有两个实根.反思感悟本题通过构造函数,利用数形结合的思想,直观形象地通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,不需知道实数根的具体数值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)的横坐标,因此原方程的解的个数就是这两个函数图象的交点个数.当a0时,原方程没有实数解;当a=0或a1时,原方程有两个实数解;当a=1时,原方程有三个实数解;当0a1时,原方程有四个实数解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练1.已知f(x)=𝑥2,𝑥0,π,𝑥=0,0,𝑥0,则f(f(-3))等于()A.0B.πC.π2D.9解析:f(f(-3))=f(0)=π.答案:B2.函数f(x)=x+|𝑥|𝑥的图象是()解析:f(x)=x+|𝑥|𝑥=𝑥+1,𝑥0,𝑥-1,𝑥0是分段函数.答案:C课堂篇