2019-2020学年高中数学 第三章 函数 3.3 函数的应用（一）3.4 数学建模活动决定苹果的

-1-3.3函数的应用(一)3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点首页课标阐释思维脉络1.会利用所学知识,解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题.2.掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学应用意识.课前篇自主预习一二知识点一、函数模型1.思考(1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?提示:通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关系,选择函数类型.(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.课前篇自主预习一二(3)已知某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的销售单价x(元)与相应的日销售量y(个)进行了统计,其数据如下表:x16202428y4230186你能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函数解析式.课前篇自主预习一二提示:观察x,y的数据,可大体看到y与x是一次函数关系,令y=kx+b(k≠0).因为当x=16时,y=42,当x=20时,y=30,代入得42=16𝑘+𝑏,30=20𝑘+𝑏,解得𝑘=-3,𝑏=90.即y=-3x+90.显然当x=24时,y=18;当x=28时,y=6.对照数据,可以看出y=-3x+90即为所求的函数解析式.考虑到x的实际意义及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.课前篇自主预习一二2.填空(1)一次函数模型解析式:y=kx+b(k≠0).(2)二次函数模型①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(h,k).(3)分段函数模型有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.课前篇自主预习一二归纳提高1.在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”.2.在求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y取已知函数值,解出相应x的值,再判断是否属于所在区间.课前篇自主预习一二知识点二、解决数学应用题的一般步骤1.思考对教材例3中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明.提示:“客房问题”反映的规律性在实际生活中有很多典例,实际归结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的“调价问题”与其类似,其模型为:当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每提高m元,则销售量平均减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高?设将商品售价提高x个m元,则总收入为y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值.课前篇自主预习一二2.做一做某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?解:设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1050,x∈[250,400].因为y=0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1050=1170(元).答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多可赚1170元.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析一次函数模型的应用例1(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析(1)解析:因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.答案:D(2)解:由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;当4≤x34时,y1y2,即优惠办法①更省钱;当x34时,y1y2,优惠办法②更省钱.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一次函数模型的实际应用:一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.2.一次函数的最值求解:一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练1若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的()解析:蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D,更不可能是A,C.故选B.答案:B当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析二次函数模型的应用例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析分析:本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟二次函数的实际应用1.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.2.对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练2有A,B两城相距100km,在A,B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?解:(1)由题意:y=0.25[20x2+10(100-x)2]=7.5𝑥-10032+500003.∵x≥10,且100-x≥10,∴10≤x≤90.∴函数的定义域为[10,90].(2)由二次函数知当x=1003时,y最小,因此当核电站建在距离A城1003km时,供电费用最小.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析分段函数模型的应用例3WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min),按30元计费;超过500min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费,在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.(1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式.(2)12月份小王WAP上网使用量为20h,要付多少钱?(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?分析:由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设上网时间为xmin,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为y=0,0𝑥1,0.5𝑥,1≤𝑥60,30,60≤𝑥≤500,30+0.15(𝑥-500),𝑥500.(2)当x=20×60=1200(min)时,x500,应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500min,由解析式可得上网时间为900min.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟分段函数的实际应用1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析延伸探究为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:该企业职工每人每月工资为1200元,其他经营性费用为每月13200元.(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?q=-2𝑝+140,40≤𝑝≤58,-𝑝+82,58𝑝≤81.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,则(52-40)×36×100=1200t+13200,∴t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=100(-2𝑝+140)(𝑝-40)-1200×20-13200(40≤𝑝≤58),100(-𝑝+82)(𝑝-40)-12