2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质课件 新人教A

-1-2.2.2椭圆的简单几何性质目标导航1.掌握椭圆的范围、对称性、离心率等简单几何性质.2.会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形,并能根据几何性质解决一些简单问题.3.理解直线与椭圆的位置关系.知识梳理椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(𝑎𝑏0)y2a2+x2b2=1(𝑎𝑏0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上轴长长轴长=|A1A2|,短轴长=|B1B2|焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点(0,0)离心率e=ca(0𝑒1)知识梳理【做一做1】椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()A.12B.2C.14D.4解析:椭圆x2+my2=1的标准形式为x2+𝑦21𝑚=1.∵焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,∴1𝑚=4,∴𝑚=14.答案:C【做一做2】椭圆x2+4y2=1的离心率为()A.32B.34C.22D.23解析:化为标准形式x2+𝑦214=1,则a2=1,b2=14,𝑐2=34,故e=𝑐𝑎=32.答案:A知识梳理【做一做3】椭圆16x2+9y2=144的焦点坐标是,顶点坐标是.答案:(0,±7)(3,0),(−3,0),(0,4),(0,−4)重难聚焦1.椭圆的离心率剖析:椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率.记作e=2𝑐2𝑎=𝑐𝑎.由ac0,知0e1.e越接近1,c越接近a,从而b=𝑎2-𝑐2越小,因此椭圆越扁;反之e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆;当且仅当a=b时,c=0,这时椭圆的两个焦点重合,图形变成圆,方程为x2+y2=a2.重难聚焦2.直线与椭圆的位置关系剖析:(1)直线与椭圆有三种位置关系:①相交——直线与椭圆有两个不同的公共点;②相切——直线与椭圆有且只有一个公共点;③相离——直线与椭圆没有公共点.(2)直线与椭圆的位置关系的判断:我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与椭圆的公共点问题,而直线与椭圆的公共点问题,又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题,而它们的方程所组成的方程组的解的问题又可以转化为一元二次方程解的问题,一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断,因此,直线和椭圆的位置关系,可由相应的一元二次方程的判别式来判断.判断方法:将直线方程和椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若Δ0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ0,则直线与椭圆相离.重难聚焦3.弦长公式剖析:设直线方程为y=kx+m(k∈R,且k≠0),椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)或𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0),直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑘𝑥1+𝑚-𝑘𝑥2-𝑚)2=(𝑥1-𝑥2)2·(1+𝑘2)=1+𝑘2·|x1-x2|=1+𝑘2·(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2,重难聚焦或者|AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=𝑦1-𝑚𝑘-𝑦2-𝑚𝑘2+(𝑦1-𝑦2)2=1+1𝑘2·|y1-y2|=1+1𝑘2·(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2.当k=0时,直线平行于x轴,所以|AB|=|x1-x2|.知识拓展由弦长公式可知,求弦长时可以不求出交点坐标,只需先将方程联立,整理成关于x(或y)的一元二次方程,再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2),代入弦长公式即可.典例透析题型一题型二题型三题型四由方程求椭圆的几何性质题型五【例1】已知点34,12在椭圆𝑦2+(𝑚+3)𝑥2=𝑚(𝑚0)上,求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率.分析:先根据点在椭圆上,求出方程中实数m的值,再将方程化为标准形式,确定焦点位置及a,b,c的值,最后写出几何性质.典例透析题型一题型二题型三题型四题型五解:因为点34,12在椭圆y2+(m+3)x2=m(m0)上,所以122+(𝑚+3)·342=𝑚,解得m=1.将椭圆方程化为y2+𝑥214=1,椭圆焦点在y轴上.a2=1,b2=14,所以c2=34.故长轴长2a=2,短轴长2b=1,顶点坐标为(0,1),(0,-1),12,0,-12,0,焦点坐标为0,32,0,-32,离心率e=32.反思已知椭圆的方程讨论其几何性质时,应先把椭圆的方程化成标准形式,找准a与b,再正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为()A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(−6,0),(6,0)D.(0,−6),(0,6)解析:将椭圆方程化为x2+𝑦26=1,则长轴端点在y轴上,即端点坐标为(0,−6),(0,6).答案:D题型五典例透析题型一题型二题型三题型四利用椭圆的几何性质求标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是6,(2)焦点在x轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,焦距为6.分析:因为要求的是椭圆的标准方程,所以可以先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求参数a,b,c.离心率是23;解:(1)设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)或𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0).由已知得2a=6,则a=3.∵e=𝑐𝑎=23,∴𝑐=2.∴b2=a2-c2=9-4=5.∴椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦25=1或𝑦29+𝑥25=1.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四(2)由题意知焦点在x轴上,则可设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0),且两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).如图所示,△A1F2A2为等腰直角三角形,OF2为斜边A1A2的中线,且|OF2|=c,|A1A2|=2b,故c=b=3.于是a2=b2+c2=18.因此,所求椭圆的标准方程为𝑥218+𝑦29=1.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四反思利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待定系数法,而其关键是根据已知条件去构造关于参数的方程(组),利用解方程(组)求得参数.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是短轴长的2倍,且经过点(2,-4);(2)离心率为32,经过点(2,0).解:(1)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0).由题意知,a=2b,且椭圆经过点(2,-4),∴22(2𝑏)2+(-4)2𝑏2=1,解得b2=17.∴a2=(2b)2=68.∴当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为𝑥268+𝑦217=1.同理可得,当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为𝑥28+𝑦232=1.典例透析题型一题型二题型三题型四题型五(2)∵e=𝑐𝑎=32,∴可设a=2k,c=3k,k0,则b=k.∵椭圆经过点(2,0),∴当点(2,0)为短轴顶点时,有b=2,a=4,即椭圆标准方程为𝑥24+𝑦216=1;当点(2,0)为长轴顶点时,a=2k=2,k=1,则b=1,即椭圆的标准方程为𝑥24+y2=1.典例透析题型一题型二题型三题型四求椭圆的离心率【例3】如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率.解:设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0).如题图所示,则有F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),直线PF1的方程为x=-c,代入方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,得y=±𝑏2𝑎,故𝑃-𝑐,𝑏2𝑎.∵PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB.∴|𝑃𝐹1||𝐹1𝐹2|=|𝐴𝑂||𝑂𝐵|,∴𝑏22𝑎𝑐=𝑏𝑎,∴𝑏=2𝑐.∴b2=4c2,∴a2-c2=4c2,∴𝑐2𝑎2=15.∴e2=15,即e=55,故椭圆的离心率为55.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四反思求椭圆的离心率的常见思路:一是先求a,c,再计算e;二是依据条件中的关系,结合有关知识和a,b,c的关系,先构造关于e的方程(组),再求解.注意e的取值范围:0e1.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】若椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑎𝑏0的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2,线段𝐹1𝐹2被点𝑏2,0分成5:3的两段,则此椭圆的离心率为()A.1617B.41717C.45D.255解析:依题意得𝑐+𝑏2𝑐-𝑏2=53,即c=2b.∵a2-b2=c2,∴a=𝑏2+𝑐2=5𝑏.∴e=𝑐𝑎=255.答案:D题型五典例透析题型一题型二题型三题型四直线与椭圆的位置关系【例4】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0),且可知其左焦点为F'(-2,0),从而有𝑐=2,2𝑎=|𝐴𝐹|+|𝐴𝐹'|=3+5=8,解得𝑐=2,𝑎=4.又因为a2=b2+c2,所以b2=12.故椭圆C的方程为𝑥216+𝑦212=1.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=32𝑥+𝑡.由𝑦=32𝑥+𝑡,𝑥216+𝑦212=1,得3x2+3tx+t2-12=0.因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0.解得-43≤t≤43.由直线OA与l的距离d=4,可得|𝑡|94+1=4,从而t=±213.由于±213∉[-43,43],故不存在符合题意的直线l.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四反思直线与椭圆之间有相交、相切、相离三种位置关系,即直线与椭圆有两个不同的公共点、唯一一个公共点、没有公共点.相应地,直线方程与椭圆方程联立组成的方程组有两组解、一组解、无解,消元后的一元二次方程对应的有Δ0、Δ=0、Δ0三种情况.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】已知椭圆方程为𝑦216+𝑥24=1.(1)判断直线y=2x+6与椭圆是否有公共点?(2)若斜率为1的直线l与椭圆相交于A,B两点,且|AB|=1625,求直线𝑙的方程.解:(1)由𝑦216+𝑥24=1,𝑦=2𝑥+6,可得2x2+6x+5=0,因为Δ=62-4×2×50,所以该方程组无解,即直线与椭圆没有公共点.典例透析题型一题型二题型三题型四题型五(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由𝑦=𝑥+𝑚,𝑦216+𝑥24=1,得5x2+2mx+m2-16=0,由题意,得Δ=(2m)2-20(m2-16)0,x1+x2=−2𝑚5,𝑥1𝑥2=𝑚2-165,因为|AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=2·(𝑥1-𝑥2)2=2·(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=1625,所以-2𝑚52−4(𝑚2-16