2019-2020学年高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、

-1-2.3二次函数与一元二次方程、不等式首页课标阐释思维脉络1.了解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.课前篇自主预习一二一、一元二次不等式的概念1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-30,x2+5x≤0,-3x2-6x+10,4x2-1≥0等有什么共同特点?提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.课前篇自主预习一二2.填空一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.课前篇自主预习一二3.做一做已知下列不等式:①ax2+2x+10;②x2-y0;③-x2-3x0;④0.其中是一元二次不等式的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.答案:A𝑥𝑥2-3课前篇自主预习一二二、一元二次不等式的解法1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.当x为何值时,y=0?当x为何值时,y0?当x为何值时,y0.上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);当0x5时,y0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x0;当x0或x5时,y0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x0.课前篇自主预习一二(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示:①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.(4)抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用一元二次方程来说明这些位置关系?提示:抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ与0的关系来判断.课前篇自主预习一二2.填空二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}xx≠-b2aRax2+bx+c0(a0)的解集{x|x1xx2}⌀⌀课前篇自主预习一二3.做一做(1)不等式x2-2x0的解集是.(2)不等式x2+3x+60的解集是.答案:(1){x|x2或x0}(2)⌀课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一元二次不等式的求解例1解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+20.分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-12,x2=2.因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是𝑥𝑥-12或𝑥2.(2)不等式可化为3x2-6x+20.因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=120,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-33,x2=1+33.因为函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是𝑥1-33𝑥1+33.(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=12,函数y=4x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是𝑥𝑥=12.(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1解下列不等式:(1)4x2-20x-25;(2)(x-3)(x-7)0;(3)-3x2+5x-40;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)不等式可化为4x2-20x+250,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3x7}.(3)不等式-3x2+5x-40可化为3x2-5x+40,由于判别式Δ=25-48=-230,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两个根是13,1,函数y=3x2-4x+1的图象开口向上,所以不等式的解集是𝑥13≤𝑥≤1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练已知不等式的解集求参数值例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)由题意知a0,且-1和2是关于x的方程ax2+bx+a2-1=0的两个根,所以有𝑎0;-1+2=-𝑏𝑎,-1×2=𝑎2-1𝑎,解得𝑎=-1+2,𝑏=1-2.(2)由题意知a0,且-1和2是关于x的方程ax2+bx+a2-1=0的两个根,所以𝑎0,-1+2=-𝑏𝑎,-1×2=𝑎2-1𝑎,解得𝑎=-1-2,𝑏=1+2.(3)由题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以a=0,从而不等式变为bx-1≤0,于是应有𝑏0,1𝑏=-1,所以b=-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)0(x1x2),当a0时,其解集是{x|xx1或xx2},当a0时,其解集是{x|x1xx2}.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+10的解集.解:∵关于x的不等式x2+ax+b0的解集为(1,2),∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.将其代入所求不等式bx2+ax+10,得2x2-3x+10.由2x2-3x+10,得(2x-1)(x-1)0,解得x12或x1.故bx2+ax+10的解集为-∞,12∪(1,+∞).由根与系数的关系,得-𝑎=1+2,𝑏=1×2,解得𝑎=-3,𝑏=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练含参数的一元二次不等式的解法例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.分析:先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.解:①当a=0时,原不等式即为-x+10,解得x1.②当a0时,原不等式化为𝑥-1𝑎(x-1)0,解得x1𝑎或x1.③当a0时,原不等式化为𝑥-1𝑎(x-1)0.若a=1,即1𝑎=1时,不等式无解;若a1,即1𝑎1时,解得1𝑎x1;若0a1,即1𝑎1时,解得1x1𝑎.综上可知,当a0时,不等式的解集为𝑥𝑥1𝑎或𝑥1;课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练当a=0时,不等式的解集为{x|x1};当0a1时,不等式的解集为𝑥1𝑥1𝑎;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a1时,不等式的解集为𝑥1𝑎𝑥1.反思感悟解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a20(a∈R).解:由于x2+3ax-4a20可化为(x-a)(x+4a)0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为⌀;当a-4a,即a0时,解不等式为-4axa;当a-4a,即a0时,解不等式为ax-4a.综上所述,当a=0时,不等式的解集为⌀;当a0时,不等式的解集为{x|-4axa};当a0时,不等式的解集为{x|ax-4a}.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一元二次不等式的实际应用例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?s=𝑛𝑣100+𝑣2400(n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中6𝑠18,14𝑠217.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练分析:(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.解:(1)由题意得640𝑛100+16004008,1470𝑛100+490040017,解得5𝑛10,52𝑛9514.因为n∈N,所以n=6.(2)由于刹车距离不超过12.6m,即s≤12.6,所以3𝑣50+𝑣2400≤12.6,因此v2+24v-5040≤0,解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60km/h.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤1.理解题意,搞清量与量之间的关系.2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延