2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）本章整合课件 新人教A版必修1

本章整合基本初等函数(Ⅰ)基本初等函数(Ⅰ)基本初等函数(Ⅰ)专题一专题二专题三专题四专题一指数、对数的有关运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点,它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础,也是高考必考内容之一,学习时应引起足够的重视.应用1计算:2log32-log3329+log38−25log53.提示:利用对数的运算性质把前三项合起来,利用恒等式𝑎log𝑎𝑏=𝑏求最后一项的值.解:原式=log34-log3329+log38−52log53=log34×932×8−5log59=log39−9=2−9=−7.专题一专题二专题三专题四应用2已知logax=4,logay=5,试求A=𝑥1xy2312的值.提示:转化为求logaA,用logax和logay表示logaA后,再将logax=4和logay=5代入.解法一logaA=12log𝑎𝑥+13-12log𝑎𝑥-2log𝑎𝑦=1256log𝑎𝑥-23log𝑎𝑦=12×56×4-23×5=0.故A=1.解法二∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=𝑥12·1𝑥12𝑦216=𝑥12-112𝑦-13=𝑥512𝑦-13=(𝑎4)512·(𝑎5)-13=𝑎53·𝑎-53=𝑎0=1.专题一专题二专题三专题四专题二指数函数、对数函数、幂函数的定义域和值域的应用三种函数的定义域、值域如下表所示:函数解析式定义域值域指数函数y=ax(a0,且a≠1)R(0,+∞)对数函数y=logax(a0,且a≠1)(0,+∞)R幂函数y=xα由α的值确定由α的值确定专题一专题二专题三专题四应用1求函数f(x)=3𝑥21-3𝑥+lg(3𝑥+1)的定义域.提示:要保证分母不等于0、被开方数为非负数、对数的真数为正数,由此列出不等式组求解.解:要使函数有意义,则1-3𝑥0,3𝑥+10,解得−13𝑥13.故函数f(x)的定义域为-13,13.专题一专题二专题三专题四应用2求函数y=12𝑥2-2𝑥+2(0≤x≤3)的值域.提示:令t=x2-2x+2,先求出t的值域,再把t作为自变量求y=12𝑡的值域.解:令t=x2-2x+2,则y=12𝑡.又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,0≤x≤3,∴当x=1时,tmin=1;当x=3时,tmax=5.故1≤t≤5,∴125≤y≤121,故所求函数的值域为132,12.专题一专题二专题三专题四应用3已知不等式2x+3-2m0在区间[0,+∞)内恒成立,求实数m的取值范围.提示:g(m)f(x)恒成立,只需g(m)小于f(x)的最小值;g(m)f(x)恒成立,只需g(m)大于f(x)的最大值.解:原不等式可变形为2m-32x,要使此不等式在区间[0,+∞)内恒成立,只需2m-3小于y=2x在区间[0,+∞)内的最小值.当x∈[0,+∞)时,由y=2x的单调性可知y=2x在区间[0,+∞)内的最小值是20=1,所以有2m-31,解得m2.故实数m的取值范围为(-∞,2).专题一专题二专题三专题四专题三指数函数、对数函数图象的应用指数函数、对数函数图象的应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,此类题目往往是选择题,常借助于指数函数、对数函数的图象特征来解决;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.这就要求画指数函数、对数函数的图象时尽量准确,特别是一些关键点要正确,比如,指数函数的图象必过点(0,1),对数函数的图象必过点(1,0).专题一专题二专题三专题四应用1已知a0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是()专题一专题二专题三专题四提示:先由函数的定义域判断函数图象的位置,再对底数a进行讨论,最后确定选项.解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左侧,可排除A,D选项.当a1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)应为减函数,可知B项正确;而对C项,由y=ax的图象知y=ax为减函数,则0a1,y=loga(-x)为增函数,与C项中y=loga(-x)的图象不符.答案:B专题一专题二专题三专题四应用2若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是.提示:画出y=|ax-1|+1的图象,转化为此图象与直线y=2a有两个交点,观察图象即得所求结果,注意分0a1和a1两种情况的图象处理.专题一专题二专题三专题四解析:当a1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象,则由图可知12a2,即12𝑎1,与a1矛盾;当0a1时,同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象,则由图可知12a2,即12𝑎1.综上可知,a的取值范围为12,1.答案:12,1专题一专题二专题三专题四专题四指数函数、对数函数、幂函数的单调性的应用1.解指数不等式、对数不等式求解指数不等式、对数不等式时,一般是利用指数函数、对数函数的单调性去掉底数,转化为关于指数或真数的不等式,再求解.特别地,解对数不等式时,要防止定义域扩大,应在解的过程中加上限制条件,使定义域保持不变,即进行同解变形.若非同解变形,最后一定要检验.专题一专题二专题三专题四应用1(1)已知3x≥30.5,求实数x的取值范围;(2)已知0.2x25,求实数x的取值范围.提示:(1)构造指数函数,利用指数函数的单调性求解;(2)将式子转化为同底的指数式,然后利用指数函数的单调性求解.解:(1)因为31,所以指数函数f(x)=3x在R上是增函数.由3x≥30.5,可得x≥0.5,即x的取值范围为[0.5,+∞).(2)因为00.21,所以指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数.因为25=15-2=0.2−2,所以0.2x0.2-2.由此可得x-2,即x的取值范围为(-2,+∞).专题一专题二专题三专题四应用2(1)若log𝑎251,求𝑎的取值范围.(2)求满足不等式log3x1的x的取值范围;提示:将常数1转化为对数式的形式,构造对数函数,利用对数函数的单调性求解.解:(1)log𝑎251,即log𝑎25log𝑎𝑎,当a1时,函数y=logax在定义域内是增函数,所以log𝑎25log𝑎𝑎总成立;当0a1时,函数y=logax在定义域内是减函数,由log𝑎25log𝑎𝑎,得a25,即0a25.故a的取值范围是0,25∪(1,+∞).(2)log3x1=log33,所以x满足的条件为𝑥0,log3𝑥log33,即x0,且x3.所以x的取值范围为0x3.专题一专题二专题三专题四2.求定义域求形如函数y=f(ax)和y=f(logax)的定义域时,往往把ax和logax看成一个整体,列出关于ax和logax的不等式(组),解得定义域.应用1函数y=6𝑥-36的定义域是_____________.解析:要使函数有意义,则需6x-36≥0,即6x≥62.又函数y=6x在R上是增函数,则x≥2.答案:[2,+∞)应用2函数y=1-log3𝑥的定义域是_______________.解析:要使函数有意义,则需1-log3x≥0,即log3x≤1=log33.又函数y=log3x在区间(0,+∞)内是增函数,则x≤3.又x0,则0x≤3.答案:(0,3]专题一专题二专题三专题四3.比较大小比较几个数的大小是指数函数、对数函数、幂函数的单调性的又一重要应用,其基本方法是,将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较,有时也采用中间量法、图象法、特殊值法等方法.专题一专题二专题三专题四应用1设a=log123,𝑏=130.2,𝑐=213,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac提示:分别判断a,b,c与0和1的大小,利用中间量法比较大小.解析:a=log123log121=0,0𝑏=130.2130=1,𝑐=21320=1,故abc.答案:A专题一专题二专题三专题四应用2已知c0,则下列不等式成立的是()A.c2cB.c12𝑐C.2𝑐12𝑐D.2𝑐12𝑐提示:思路一(图象法):在同一坐标系中画出函数y=x,y=12𝑥,𝑦=2𝑥的图象,利用图象比较大小;思路二(特殊值法):c取特殊值,排除错误选项.专题一专题二专题三专题四解析:方法一(图象法):在同一坐标系中分别作出y=x,y=12𝑥,𝑦=2𝑥的图象,如图,显然,当x0时,x2x12𝑥,即当c0时,c2c12𝑐.方法二(特殊值法):令c=-1,则2-1=12,12-1=2,则有-12-112-1,排除A,B,D项,故选C.答案:C123456789101(2018·全国Ⅲ高考)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)解析:设所求函数的图象上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q在y=lnx上,∴y=ln(2-x),故选B.答案:B123456789102(2018·全国Ⅰ高考)设函数f(x)=2-𝑥,𝑥≤0,1,𝑥0,则满足𝑓(𝑥+1)𝑓(2𝑥)的𝑥的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)解析:画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;②当x+10且2x0,即-1x0时,f(x+1)f(2x)显然成立;③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x0,若f(x+1)f(2x),则x+12x,解得x1.故x≤-1.综上所述,x的取值范围为(-∞,0).答案:D123456789103(2017·全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则()A.f(x)在区间(0,2)内单调递增B.f(x)在区间(0,2)内单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称解析:f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.答案:C123456789104(2018·全国Ⅲ高考)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab0a+b解析:∵a=log0.20.30,b=log20.30,∴ab0.又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)·lg2而lg2-10,2lg2-10,lg3-10,lg20,∴a+b0.𝑎+𝑏𝑎𝑏=1𝑏+1𝑎=log0.32+log0.30.2=log0.30.4log0.30.3=1.∴𝑎𝑏𝑎+𝑏.故选B.答案:B123456789105(2018·全国Ⅱ高考)函数f(x)=e𝑥-e-𝑥𝑥2的图象大致为()12345678910解析:∵f(-x)=e-𝑥-e𝑥𝑥2=−𝑓(𝑥),∴𝑓(𝑥)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=e10-1e101001,