2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数课件 新人教A版必修1

2.3幂函数1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=1𝑥,𝑦=𝑥12的图象,掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.幂函数(1)定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.名师点拨幂函数与指数函数的区别与联系函数表达式相同点不同点指数函数y=ax(a0,且a≠1)右边都是幂的形式指数是自变量,底数是常数幂函数y=xα(α∈R)底数是自变量,指数是常数【做一做1】下列函数:①y=x3;②y=12𝑥;③𝑦=4𝑥2;④𝑦=𝑥5+1;⑤𝑦=𝑥−12;⑥𝑦=𝑥;⑦𝑦=𝑎𝑥𝑎1.其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.答案:B(2)图象:在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,𝑦=𝑥−1的图象如图.归纳总结幂函数在第一象限内的指数变化规律:在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小,即指数大的在上边.(3)五种常见幂函数的性质,列表如下:定义域值域奇偶性单调性公共点y=xRR奇在R上是增函数(1,1)y=x2R[0,+∞)偶在区间(-∞,0)内是减函数;在区间[0,+∞)内是增函数y=x3RR奇在R上是增函数y=𝑥12[0,+∞)[0,+∞)非奇非偶在区间[0,+∞)内是增函数y=x-1(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇在区间(-∞,0)和(0,+∞)内均是减函数知识拓展幂函数有如下性质:(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂函数的图象都不过第四象限.(2)当α0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在区间[0,+∞)内都是增函数.当α0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在区间(0,+∞)内都是减函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.【做一做2】下列结论正确的是()A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,12时,幂函数𝑦=𝑥𝛼在定义域上是增函数D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,且y=xα(α∈R),y0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.答案:C1.求幂函数的定义域剖析在幂函数y=xα中,α的取值不一样,幂函数的定义域也不一样.(1)当α是正整数时,幂函数的定义域为R;当α是负整数时,幂函数的定义域为{x|x≠0,且x∈R};当α为0时,幂函数的定义域为{x|x≠0,且x∈R}.(2)当α是一个正分数时,设y=𝑥𝑝𝑞(𝑝,𝑞是互质的正整数,q1),其定义域是使xpq有意义的实数x的集合.(3)当α是一个负分数时,设y=x-pq(𝑝,𝑞是互质的正整数,q1),则其定义域是使1xp𝑞有意义的实数x的集合.2.幂函数的图象剖析(1)幂函数y=xα在第一象限内的图象特征:①当α1时,图象过点(1,1),下凸递增,如y=x3;②当0α1时,图象过点(1,1),上凸递增,如y=𝑥12;③当α0时,图象过点(1,1),下凸递减,且向两坐标轴无限地逼近,如y=x-1.(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二或第三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数的图象与坐标轴相交,那么交点一定是原点.题型一题型二题型三题型四幂函数的概念问题【例1】(1)已知函数f(x)=(m2-m+1)xm是幂函数,则实数m的值等于.(2)已知幂函数f(x)的图象过点(3,2),则f(x)=.解析:(1)由函数f(x)是幂函数,得m2-m+1=1,解得m=0或1.(2)设f(x)=xα(α∈R),则3α=2,∴α=log32.∴f(x)=𝑥log32.答案:(1)0或1(2)𝑥log32题型一题型二题型三题型四反思1.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.已知幂函数f(x)的图象过点(a,b),求f(x)的解析式时,常用待定系数法,设f(x)=xα(α∈R),则aα=b,转化为解关于α的方程.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】(1)已知幂函数f(x)=xα的图象过点2,22,则𝑓4=_________________________.(2)已知函数y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3是幂函数,求m,n的值.(1)解析:由已知得2α=22,∴𝛼=−12,∴f(x)=𝑥-12,∴𝑓(4)=4-12=2−1=12.答案:12(2)解:∵函数y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3是幂函数,∴由幂函数的定义,得𝑚2+2𝑚-2=1,2𝑛-3=0,解得m=-3或1,n=32.题型一题型二题型三题型四幂函数的图象问题【例2】(1)幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系为()A.abcdB.abdcC.bacdD.badc(2)点2,2与点-2,-12分别在幂函数𝑓𝑥,𝑔𝑥的图象上,求当𝑥为何值时,分别有:①𝑓𝑥𝑔𝑥;②𝑓𝑥=𝑔𝑥;③𝑓𝑥𝑔(𝑥).题型一题型二题型三题型四分析:(1)利用图象特征或取特殊值判断.(2)先用待定系数法求f(x),g(x)的解析式,再画出对应的函数图象,借助图象解不等式.(1)解析:作直线x=2也可作直线𝑥=12,如图所示,直线与4个幂函数图象交点的纵坐标分别为2a,2b,2c,2d.由图可知2a2b2c2d,而函数y=2x为增函数,所以abcd.答案:A题型一题型二题型三题型四(2)解:设f(x)=xα,g(x)=xβ.∵(2)𝛼=2,(2)𝛽=−12,∴𝛼=2,𝛽=−1,∴𝑓(𝑥)=𝑥2,𝑔(𝑥)=𝑥−1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知:①当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)g(x);②当x=1时,f(x)=g(x);③当x∈(0,1)时,f(x)g(x).题型一题型二题型三题型四反思解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:①当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=𝑥12或y=x3)来判断.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】函数y=𝑥𝑚𝑛(𝑚,𝑛∈N*,m,n互质)的图象如图所示,则()A.m,n是奇数,且𝑚𝑛1B.m是偶数,n是奇数,且𝑚𝑛1C.m是偶数,n是奇数,且𝑚𝑛1D.m是奇数,n是偶数,且𝑚𝑛1题型一题型二题型三题型四解析:由图象知,函数为偶函数,且在第一象限内图象上凸递增,则m为偶数,n为奇数,且𝑚𝑛1.答案:C题型一题型二题型三题型四比较幂的大小【例3】比较下列各组数中两个数的大小:(1)2512与1312;(2)-23-1与-35-1;(3)1234与3412.分析:(1)利用y=𝑥12的单调性比较;(2)利用y=x-1的单调性比较大小;(3)利用中间量1212比较大小.题型一题型二题型三题型四解:(1)∵幂函数y=𝑥12在区间[0,+∞)内是增函数,又2513,∴25121312.(2)∵幂函数y=x-1在区间(-∞,0)内是减函数,又−23−35,∴-23-1-35-1.(3)∵函数y1=12𝑥在R上为减函数,又3412,∴12121234.又函数y2=𝑥12在区间[0,+∞)内是增函数,且3412,∴34121212.∴34121234.题型一题型二题型三题型四反思通常利用函数的单调性来比较幂的大小,如本例(1)和(2);不能直接借助函数的单调性的,可插入中间量进行比较,如本例(3).题型一题型二题型三题型四【变式训练3】比较下列各组数的大小:(1)3-52和3.1-52;(2)−8-78和−1978;(3)-23-23和-π6-23;(4)4.125,3.8-23和(−1.9)-35.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为函数y=𝑥-52在区间(0,+∞)内为减函数,又33.1,所以3-523.1-52.(2)因为−8-78=−1878,函数y=𝑥78在区间(0,+∞)内为增函数,又1819,则18781978,从而−8-78−1978.(3)-23-23=23-23,-π6-23=π6-23.因为函数y=𝑥-23在区间(0,+∞)内为减函数,又23π6,所以23-23π6-23,即-23-23-π6-23.(4)因为4.125125=1,03.8-231-23=1,(−1.9)-350,所以(-1.9)-353.8-234.125.题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点指数函数和幂函数的概念【例4】已知a2𝑎13,求实数𝑎的取值范围.错解设f(x)=ax,则f(2)=a2,𝑓13=𝑎13.由于213,𝑓(2)𝑓13,则f(x)在R上是增函数,则a1,即实数a的取值范围是(1,+∞).错因分析:错解中构造指数函数f(x)=ax,就缩小了a的取值范围,因此不能构造指数函数来解决,应借助幂函数的图象来解决.题型一题型二题型三题型四正解:设y=x2,y=𝑥13,在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2和y=𝑥13的图象,如图所示.当x取满足x2𝑥13的值时,函数y=x2的图象在函数y=𝑥13图象的上方.由图象可得,满足x2𝑥13的x的取值范围是x0或x1,即实数a的取值范围是a0或a1,也就是(-∞,0)∪(1,+∞).反思已知xm与xn的大小,求x的取值范围时,不能用指数函数来解决,应借助幂函数y=xm与y=xn的图象,利用数形结合的方法来解决.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】若(3-2𝑚)12(𝑚+1)12,则实数𝑚的取值范围为___________________.解析:因为y=𝑥12在定义域[0,+∞)上是增函数,所以3-2𝑚≥0,𝑚+1≥0,3-2𝑚𝑚+1,解得-1≤m23.故实数m的取值范围为-1,23.答案:-1,23