2019-2020学年高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用课件 新人教B版

-1-2.2.4均值不等式及其应用首页课标阐释思维脉络1.了解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件,等号成立的条件及几何意义.2.会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题.3.掌握运用均值不等式a+b2≥ab(a,b0)求最值的常用方法及需注意的问题.课前篇自主预习一二三知识点一、重要不等式1.填空:对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.怎样比较a2+b2,(𝑎+𝑏)22,2ab三者的大小关系?提示:a2+b2≥(𝑎+𝑏)22≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.利用作差法即可证明.课前篇自主预习一二三3.做一做已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab()A.有最大值2,有最小值-2B.有最大值2,但无最小值C.有最小值2,但无最大值D.有最大值2,有最小值0解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.答案:A课前篇自主预习(1)给定两个正实数a,b,数𝑎+𝑏2称为a,b的算术平均值,数𝑎𝑏称为a,b的几何平均值.(2)均值不等式:如果a,b都是正数,那么𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏,当且仅当a=b时,等号成立.均值不等式也称为基本不等式,其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.(3)公式变形:①a+b≥2𝑎𝑏,ab≤𝑎+𝑏22(a,b0),当且仅当a=b时,等号成立.②a+1𝑎≥2(a0),当且仅当a=1时,等号成立.③𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2(a,b同号),当且仅当a=b时,等号成立.一二三知识点二、均值不等式1.填空课前篇自主预习一二三2.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论.提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥中,a,b0.(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).(3)证明的方法都是作差比较法.(4)都可以用来求最值.2𝑎𝑏3.做一做设a0,b0.若a+b=1,则1𝑎+1𝑏的最小值为()A.8B.4C.1D.14解析:若a+b=1,∵a0,b0,∴𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2=12⇒ab≤14.∴1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏=1𝑎𝑏≥114=4.答案:B课前篇自主预习一二三知识点三、重要结论1.思考填空:已知x,y都为正数,则(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值____.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值_____.2.应用上述两个结论时,要注意哪些事项?提示:应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.14S22𝑃课前篇自主预习一二三3.做一做:已知x,y0,且x+4y=1,则xy的最大值为.解析:因为x,y0,且x+4y=1,所以xy=14x·4y≤14×14(x+4y)2=116,当且仅当x=4y=12,即x=12,y=18时,等号成立.所以xy的最大值为116.答案:116课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测利用均值不等式求范围或最值例1(1)已知x,y∈(0,+∞),且2x+y=1,求1𝑥+1𝑦的最小值;(2)已知0x12,求函数y=x(1-2x)的最大值.分析:(1)利用“1”的代换,即将1𝑥+1𝑦等价转化为1𝑥+1𝑦×1或2𝑥+𝑦𝑥+2𝑥+𝑦𝑦即可.(2)将“x(1-2x)”变形为“12×2x(1-2x)”,利用2x+(1-2x)=1为定值即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)1𝑥+1𝑦=1𝑥+1𝑦(2x+y)=2+2𝑥𝑦+𝑦𝑥+1=3+2𝑥𝑦+𝑦𝑥≥3+22𝑥𝑦·𝑦𝑥=3+22,当且仅当2𝑥𝑦=𝑦𝑥,即𝑦𝑥=2,2𝑥+𝑦=1⇒𝑥=12+2,𝑦=22+2时等号成立.∴1𝑥+1𝑦的最小值为3+22.(2)∵0x12,∴1-2x0.∴y=x(1-2x)=12·2x(1-2x)≤122𝑥+(1-2𝑥)22=18,当且仅当2x=1-2x,即x=14时,等号成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.利用均值不等式求范围或最值时要注意:(1)x,y一定要都是正数.(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.(3)等号是否能够成立.2.有时需结合题目条件进行添项、凑项以及“1”的代换等,目的是为了使和或积为常数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1已知x2,求函数f(x)=x+4𝑥-2的最大值.解:∵x2,∴2-x0,∴f(x)=x+4𝑥-2=-(2-𝑥)+42-𝑥+2≤-2(2-𝑥)42-𝑥+2=-2,当且仅当2-x=42-𝑥时,等号成立,解得x=0或x=4(舍去),即当且仅当x=0时,等号成立.∴x+4𝑥-2的最大值为-2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测利用均值不等式比较大小例2若a≥b≥0,试比较a,𝑎2+𝑏22,𝑎+𝑏2,𝑎𝑏,21𝑎+1𝑏,b的大小.分析:这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系.借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:∵a≥b≥0,∴𝑎2+𝑏22≤𝑎2+𝑎22=a.∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏22.又a0,b0,则𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏22=𝑎+𝑏2.∵1𝑎+1𝑏2≥1𝑎·1𝑏,∴𝑎𝑏≥21𝑎+1𝑏.∵21𝑎+1𝑏-b=𝑏(𝑎-𝑏)𝑎+𝑏≥0,∴21𝑎+1𝑏≥b.∴a≥𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏≥21𝑎+1𝑏≥b.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟利用均值不等式比较大小的关注点利用均值不等式比较大小,其实质也是不等式的证明问题,但要注意对所求对象进行适用条件的验证及等号成立条件的探求.必要时,也要与之前讲述的作差法或作商法综合进行大小比较,对于结论可首先取特殊值得到,再作论证即可.注意:本例题中的21𝑎+1𝑏,𝑎𝑏,𝑎+𝑏2,𝑎2+𝑏22分别叫做正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数,于是有调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测利用均值不等式证明不等式例3设a,b,c都是正数,求证:𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑐𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c.证明:因为a,b,c都是正数,所以𝑏𝑐𝑎,𝑐𝑎𝑏,𝑎𝑏𝑐也都是正数.所以𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏≥2c(当且仅当a=b时取等号),𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥2a(当且仅当b=c时取等号),𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑏𝑐≥2b(当且仅当a=c时取等号),三式相加得2𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥2(a+b+c),即𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c.(当且仅当a=b=c时取等号)反思感悟1.多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立;2.累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;3.对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型,再使用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.将本例3中所证的不等式左边改为“𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎”,其他均不变,又将如何证明呢?延伸探究课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:∵a,b,c,𝑎2𝑏,𝑏2𝑐,𝑐2𝑎均大于0,∴𝑎2𝑏+b≥2𝑎2𝑏·𝑏=2a,①当且仅当𝑎2𝑏=b时等号成立.𝑏2𝑐+c≥2𝑏2𝑐·𝑐=2b,②当且仅当𝑏2𝑐=c时等号成立.𝑐2𝑎+a≥2𝑐2𝑎·𝑎=2c,③当且仅当𝑐2𝑎=a时等号成立.①+②+③得𝑎2𝑏+b+𝑏2𝑐+c+𝑐2𝑎+a≥2a+2b+2c.∴𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥a+b+c,当且仅当a2=b2=c2时等号成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.将本例3中的条件不变.求证:𝑏+𝑐-𝑎𝑎+𝑐+𝑎-𝑏𝑏+𝑎+𝑏-𝑐𝑐≥3.证明:左边=𝑏𝑎+𝑐𝑎-1+𝑐𝑏+𝑎𝑏-1+𝑎𝑐+𝑏𝑐-1=𝑏𝑎+𝑎𝑏+𝑐𝑎+𝑎𝑐+𝑐𝑏+𝑏𝑐-3.∵a,b,c为正数,∴𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2(当且仅当a=b时取等号);𝑐𝑎+𝑎𝑐≥2(当且仅当a=c时取等号);𝑐𝑏+𝑏𝑐≥2(当且仅当b=c时取等号).从而𝑏𝑎+𝑎𝑏+𝑐𝑎+𝑎𝑐+𝑐𝑏+𝑏𝑐≥6(当且仅当a=b=c时取等号).∴𝑏𝑎+𝑎𝑏+𝑐𝑎+𝑎𝑐+𝑐𝑏+𝑏𝑐-3≥3,即𝑏+𝑐-𝑎𝑎+𝑐+𝑎-𝑏𝑏+𝑎+𝑏-𝑐𝑐≥3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测均值不等式在实际问题中的应用例4某学校拟建一块周长为400m的操场,操场的两边是半圆形,中间是矩形(如图所示).学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,应如何设计矩形?解:设半圆的直径为dm,矩形的另一边长为xm,中间的矩形区域面积为Sm2.由题知S=dx,且πd+2x=400,∴S=12π·(πd)·(2x)≤12ππ𝑑+2𝑥22=20000π,当且仅当πd=2x=200,即x=100时,等号成立,则设计半圆的直径为200πm,矩形区域的另一边长为100m时,矩形区域的面积最大.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.在实际问题中,与最值有关的应用题是一种常见题型,高考试题中时有出现.解决此类问题的基本思路是,先建立目标函数,然后再求该目标函数的最值.由于均值不等式求最值具有方便快捷的特点,应作为求最值的首选方法.2.在应用均值不等式求最值时,要注意“一正、二定、三相等”的原则,特别是“三相等”必须验证.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2一批救灾物资随26辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于𝑣202km,那么这批物资全部到达灾区,最少需要h.解析:从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为y=400𝑣+25×𝑣202𝑣=400𝑣+25𝑣400≥2400𝑣×25𝑣400=10(h),当且仅当400𝑣=25𝑣400,即v=80时,等号成立.答案:10课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测一题多变——利用基本不等式求最值典例(1)已知x54,求y=4x-2+14𝑥-5的最大值;(2)已知0x12,求y=12x(1-2x)的最大值;(3)已知x0,求f(x)=2𝑥𝑥2+1的最大值;(4)已知x0,y0,且1𝑥+9𝑦=1,求x+y的最小值.分析:变形所求代数式的结构形式,使用符合基本不等式的结构特征.(1)4x-2+14𝑥-5=4x-5+14𝑥-5+3;(2)12x(1-2x)=14·2x·(1-2x);(3)2𝑥𝑥2+1=2𝑥+1𝑥;(4)x+y=(x+y)·1=(x+y)1𝑥+9𝑦.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)∵x54,∴5-4x0,∴y=4x-2+14𝑥-5=-5-4x+15-4𝑥+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4𝑥,即x=1时,上式等号成立,故当x=1