2019-2020学年高中数学 第2章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 新人教B版必修1

2.2.2二次函数的性质与图象1.掌握二次函数的图象和性质,学会用配方法研究二次函数的性质.2.掌握作二次函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.学会用从特殊到一般的思想方法来研究二次函数,并注意与初中所学知识的类比和联系.121.二次函数的定义函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域为R.【做一做1-1】下列函数中是二次函数的是()A.y=x-2B.y=1-x2答案:B【做一做1-2】若函数f(x)=(m2-2m-3)x2-(m+1)x+5是一次函数,则m的取值范围为;若f(x)是二次函数,则m的取值范围为.答案:m=3m≠-1,且m≠3C.y=x2−1𝑥D.y=1𝑥2+2𝑥+4122.二次函数的图象和性质(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,对称轴为x=−𝑏2𝑎.(2)当a0时,抛物线开口向上,函数在x=−𝑏2𝑎处取得最小值ymin=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,在区间-∞,-𝑏2𝑎上是减函数,在区间-𝑏2𝑎,+∞上是增函数.(3)当a0时,抛物线开口向下,函数在x=−𝑏2𝑎处取得最大值ymax=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,在区间-𝑏2𝑎,+∞上是减函数,在区间-∞,-𝑏2𝑎上是增函数.12知识拓展1.当二次函数图象的对称轴与y轴重合,即b=0时,二次函数为偶函数,否则既不是奇函数也不是偶函数.2.在y=ax2(a≠0)中,当a0时,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物线的开口越大;当a0时,a越大,抛物线的开口越大,a越小,抛物线的开口越小.总之,y=ax2(a≠0)中,|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系:二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于方程f(x)=0的实数根的个数,并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时,其交点的横坐标是方程f(x)=0的实数根.12【做一做2-1】下列关于二次函数y=x2+x+1的开口方向和顶点的说法正确的是()A.开口向下,顶点是(1,1)B.开口向上,顶点是(1,1)答案:DC.开口向下,顶点是-12,34D.开口向上,顶点是-12,3412【做一做2-2】若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象只可能是()答案:C解析:由y=ax+b(a≠0)的图象经过第二、三、四象限,得a0,b0,故−𝑏2𝑎0.因此,y=ax2+bx的图象开口向下,且对称轴x=−𝑏2𝑎0,故选C.一、二次函数图象的对称轴剖析:(1)二次函数图象的对称轴通常有以下三种求法:①利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为②若二次函数f(x)对任意x1,x2∈R都有f(x1)=f(x2),则对称轴为③若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x),则对称轴为x=a(a为常数).(2)利用对称性,结合开口方向,可以比较二次函数函数值的大小.①若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小;②若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.x=−𝑏2𝑎;x=𝑥1+𝑥22;二、二次函数在闭区间上的最值问题剖析:对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最值问题,应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.其解法是:抓住“三点一轴”数形结合,该讨论时要讨论.这里的“三点”指的是区间的两个端点和区间中点,“一轴”指的是对称轴.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间[p,q]上的最值问题可作如下讨论:(1)对称轴x=h在区间[p,q]的左侧,即当hp时,f(x)max=f(q),f(x)min=f(p).(2)对称轴x=h在区间[p,q]之间,即当p≤h≤q时,f(x)min=f(h)=k.当p≤h≤𝑝+𝑞2时,f(x)max=f(q);当h=𝑝+𝑞2时,f(x)max=f(p)=f(q);当𝑝+𝑞2ℎ≤q时,f(x)max=f(p).(3)对称轴x=h在区间[p,q]的右侧,即当hq时,f(x)max=f(p),f(x)min=f(q).有关二次函数在闭区间上的最值的常见题型有三类:一是对称轴和区间都固定;二是对称轴固定、区间动;三是对称轴动、区间固定.名师点拨1.当a0时区间的最值情况可类比a0时的情况得到;2.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它们只能在区间的端点或二次函数的对称轴上取到.三、教材中的“探索与研究”二次函数y=ax2+bx+c=𝑎𝑥+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐-𝑏24𝑎中的a,b,c对函数性质与图象各有哪些影响?剖析:a,b,c的代数式作用说明a决定抛物线的开口方向与开口大小,影响单调性a0开口向上,a越小,开口越大,a越大,开口越小在-∞,-b2a上单调递减,在-b2a,+∞上单调递增a0开口向下,|a|越小,开口越大,|a|越大,开口越小在-∞,-b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减a,b,c的代数式作用说明b决定函数的奇偶性b=0偶函数b≠0既不是奇函数也不是偶函数c决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,c)c0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c0交点在x轴下方−b2a决定对称轴的位置:对称轴是直线x=−b2aab0对称轴在y轴左侧b=0对称轴为y轴ab0对称轴在y轴右侧a,b,c的代数式作用说明b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数b2-4ac0有两个交点b2-4ac=0有一个交点b2-4ac0无交点-b2a,4ac-b24a决定顶点的位置利用配方法化为y=𝑎x+b2a2+4ac-b24aa,b,c的代数式作用说明(x1,0)(x2,0)抛物线与x轴的交点坐标方程ax2+bx+c=0的根x1=-b-b2-4ac2a,x2=-b+b2-4ac2ab2-4ac|a|抛物线与x轴两交点间的距离|x1-x2|=-b-b2-4ac2a--b+b2-4ac2a=b2-4ac|a|题型一题型二题型三题型四题型一二次函数的图象与性质【例1】将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其对称轴和顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图象.分析:本题考查配方法和二次函数的性质与图象.解题的关键是配方,完成配方后再结合图象研究其性质.题型一题型二题型三题型四因为x2项的系数为负数,所以函数图象开口向下;顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1;函数在区间(-∞,-1]上单调递增,在区间[-1,+∞)上单调递减;函数有最大值,没有最小值,函数的最大值为4.采用描点画图,选顶点A(-1,4),与x轴的交点与y轴的交点D(0,1),再任取一点E(-2,1),过这五个点画出图象,如图所示.解:y=-3x2-6x+1=-3𝑥2+2𝑥-13=-3𝑥2+2𝑥+1-1-13=-3(𝑥+1)2-43=−3(x+1)2+4.𝐵23-33,0和𝐶-23+33,0,题型一题型二题型三题型四反思从这个例子可以看出,根据配方法得到的性质画函数的图象,可以直接选取关键点.这样做可减少选点的盲目性,使画图操作更简便,使图象更精确.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知f(x)满足f(x)=12𝑥2+bx-c,且f(-5)=f(11).(1)求f(x)的对称轴;(2)求f(x)的单调区间;(3)比较𝑓-14与𝑓-154的大小.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为f(-5)=f(11),所以f(x)的对称轴为x=-5+112=3,即x=3.(2)f(x)图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=3,故f(x)的单调递增区间是[3,+∞),单调递减区间是(-∞,3].(3)由(2)知f(x)在(-∞,3]上单调递减.又因为−154−143,所以𝑓-14𝑓-154.题型一题型二题型三题型四【例2】已知二次函数f(x)=-x2+kx+k在区间[2,4]上是单调函数,求实数k的取值范围.分析:首先求出f(x)的单调区间,要使f(x)在[2,4]上具有单调性,需使区间[2,4]为f(x)单调区间的子集,从而建立不等式求解k的取值范围.题型一题型二题型三题型四解:f(x)=-x2+kx+k=−𝑥-𝑘22+𝑘2+4𝑘4,f(x)的图象是开口向下的抛物线,对称轴是直线x=𝑘2,故f(x)的单调递增区间是-∞,𝑘2,单调递减区间是𝑘2,+∞.要使f(x)在区间[2,4]上具有单调性,则[2,4]⊆-∞,𝑘2或[2,4]⊆𝑘2,+∞,即𝑘2≥4或𝑘2≤2,解得k≥8或k≤4.故实数k的取值范围是(-∞,4]∪[8,+∞).反思利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的取值范围,这是函数单调性的逆向性问题.解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴,通过对称轴的位置建立变量之间的关系,进而求解参数的取值范围.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】若函数f(x)=2x2+kx-1在[-3,-2]上不是单调函数,求实数k的取值范围.解:f(x)=2x2+kx-1=2𝑥+𝑘42−𝑘28−1,依题意知函数f(x)图象的对称轴位于区间(-3,-2)内,即-3−𝑘4−2,解得8k12.故k的取值范围是(8,12).题型一题型二题型三题型四题型二二次函数图象的平移变换【例3】函数f(x)=x2的图象经过怎样的平移,能得到函数f(x)=x2-2x-1的图象?分析:一般地,二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0),a决定了二次函数图象的开口大小和方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.解决本题的突破口是将函数f(x)=x2-2x-1的解析式配方成y=(x-h)2+k的形式.题型一题型二题型三题型四解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.平移的步骤是:①将函数y=x2的图象向右平移1个单位长度得到函数y=(x-1)2的图象;②将函数y=(x-1)2的图象向下平移2个单位长度得到y=(x-1)2-2的图象,即得到函数f(x)=x2-2x-1的图象.反思所有二次项系数为1的二次函数的图象均可以由函数y=x2的图象经过平移得到.平移前,应先将二次函数的解析式化为顶点式,再确定平移的步骤.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】将函数y=12𝑥2的图象向左平移6个单位长度,再向下平移5个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式是什么?解:将函数y=12𝑥2的图象向左平移6个单位长度,得到函数y=12(x+6)2的图象,再向下平移5个单位长度,得到y=12(x+6)2-5的图象,即所求解析式为y=12𝑥2+6x+13.题型一题型二题型三题型四题型三二次函数在闭区间上的最值【例4】(1)函数y=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是,最小值是;(2)求函数f(x)=x2+2ax+2在[-5,5]上的最小值;(3)求函数f(x)=x2-4x-4在[t,t+1](t∈R)上的最小值g(t).分析:(1)小题可根据函数在区间[0,3]上的单调性求出最值;(2)和(3)小题需按照对称轴与给定区间的关系讨论求解.题型一题型二题型三题型四(1)解析:由于y=3x2-6x+1=3(x-1)2-2,该函数的图象如图所示.从图象易知,f(x)max=f(3)=10,f(x)min=f(1)=-2.答案:10-2(2)解:f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,x∈[-5,5],①当-a≤-5,即a≥5时,函数f(x)在区间[-5,5]上单调递增,故f(x)min=f(-5)=27-10a.②当-5-a5,即-5a5时,对称轴-a∈(-5,5),故f(x)min=f(