2019-2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 新人教A版选修2

-1-1.2充分条件与必要条件课标阐释思维脉络1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.3.掌握证明充要条件的一般方法.充分条件与必要条件概念判断方法充要条件的证明课前篇自主预习1.推出符号“⇒”的含义(1)一般地,如果“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,记作“p⇒q”;(2)如果“若p,则q”为假,即如果p成立,那么q不一定成立,记作“pq”.【做一做1】用推出符号“⇒和”表示下列命题:(1)p:ab,q:acbc;(2)p:ab,q:a+cb+c.解(1)pq;(2)p⇒q.【思考】用恰当的语言表述下列语句的意义.①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后;②只有同心协力,才可能把事情办好.答案①落后是骄傲自满的必然后果,即骄傲自满是落后的充分条件.②同心协力是办好事情的必要条件.课前篇自主预习2.充分条件与必要条件一般地,如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.名师点拨1.若p⇒q,则说p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立就足够了;若p⇒q,则说q是p的必要条件,所谓“必要”,即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可.2.注意以下说法是等价的:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.3.判断充分条件或必要条件的实质是判断命题“若p,则q”或其逆命题的真假.课前篇自主预习【做一做2】用“充分条件”和“必要条件”填空:(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的,q是p的.(2)若p:θ=,q:cosθ=0,则p是q的,q是p的.(3)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的,q是p的.答案(1)充分条件必要条件(2)充分条件必要条件(3)必要条件充分条件π2课前篇自主预习3.充要条件一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然q也是p的充要条件.名师点拨1.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p,若p能推出q,q也能推出p,就可以说p是q的充要条件,否则,都不能说p是q的充要条件.2.命题真假与充分条件、必要条件、充要条件的关系:原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假p⇒q,且qpp是q的充分不必要条件假真q⇒p,且pqp是q的必要不充分条件真真p⇒q,且q⇒p,即p⇔qp是q的充要条件假假pq,且qpp是q的既不充分也不必要条件课前篇自主预习【做一做3】下列各条件中,p是q的充要条件的是()A.p:a=b,q:B.p:xy0,q:xy0C.p:直线ax+y-1=0与x+ay+2=0平行,q:a=1D.p:m0,q:关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根解析在B选项中,p⇒q,且q⇒p,所以p是q的充要条件.答案B【做一做4】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.()(2)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的.()(3)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.()答案(1)√(2)×(3)√1𝑎=1𝑏课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测探究一充分条件、必要条件、充要条件的判断例1指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:0x2,q:x3;(2)p:函数f(x)=ax(a0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,q:a=2;(3)p:x-3,x,x成等比数列,q:x=4;(4)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形;(5)p:mn,q:1.思路分析针对每个命题,分析判断p⇒q,q⇒p是否成立,再结合充分条件、必要条件的定义得出结论.12𝑚𝑛课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测解(1)当0x2时,显然满足x3,因此p⇒q;但当x3时,不一定有0x2,即qp,故p是q的充分不必要条件.(2)若函数f(x)=ax(a0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,当a1时,得a2=4,所以a=2,当0a1时,得a-2=4,所以a=,即由函数f(x)=ax(a0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,可得a=2或a=,即pq;但当a=2时,函数f(x)=ax(a0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件.1212课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测(3)由x-3,12x,x成等比数列可得12𝑥2=(x-3)x,解得x=4或x=0,但当x=0时12x=x=0,不符合题意,舍去,即x的值等于4,即p⇒q;当x=4时,显然x-3,12x,x成等比数列,即q⇒p,故p是q的充要条件.(4)四边形的四条边相等,不一定得出该四边形为正方形,即pq;但当四边形是正方形时,其四条边一定相等,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(5)当mn时不一定有𝑚𝑛1,例如m=-2,n=-1,即pq;当𝑚𝑛1时,也不一定有mn,例如m=2,n=-1,即qp,故p是q的既不充分也不必要条件.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测反思感悟充分条件、必要条件的判断方法及注意点1.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意以下几点:(1)确定条件p是什么,结论q是什么.(2)尝试从条件推结论,若p⇒q,则充分性成立,p是q的充分条件.(3)尝试从结论推条件,若q⇒p,则必要性成立,p是q的必要条件.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测2.判断充分必要条件的常用方法.(1)定义法:按如下步骤进行:①分清条件与结论,即分清哪一个是条件,哪一个是结论;②判断推式的真假,即判断p⇒q及q⇒p的真假;③下结论,即根据推式及定义下结论.(2)等价法:将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题.(3)集合法:当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,我们可以借助集合间的基本关系进行充要条件的判断,即写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系加以判断,具体情况如下:①若A⊆B,则p是q的充分条件;②若A⊇B,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q的充要条件.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测变式训练1指出下列各命题中,p是q的什么条件.(1)在△ABC中,p:∠A∠B,q:BCAC;(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;(4)p:ab,q:1.𝑎𝑏课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测解(1)在△ABC中,显然有∠A∠B⇔BCAC,所以p是q的充分必要条件.(2)因为x=2且y=6⇒x+y=8,即􀱑q⇒􀱑p,但􀱑p􀱑q,所以p是q的充分不必要条件.(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.(4)由于ab,当b0时,𝑎𝑏1;当b0时,𝑎𝑏1,故若ab,不一定有𝑎𝑏1;当a0,b0,𝑎𝑏1时,可以推出ab;当a0,b0,𝑎𝑏1时,可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测探究二充要条件的证明例2求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对于一切实数x都成立的充要条件是0a4.思路分析第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“0a4”,结论是“关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对一切实数x都成立”.第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测证明①必要性:若ax2-ax+10对于一切实数x都成立,由二次函数性质有𝑎0,𝛥0,即𝑎0,𝑎2-4𝑎0,所以0a4.②充分性:因为0a4,所以0𝑎41,即01-𝑎41,所以ax2-ax+1=a𝑥-122+1-𝑎40,所以若0a4,则ax2-ax+10对于一切实数x都成立.由①②知,命题得证.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测反思感悟充要条件的证明解题策略1.充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.2.证明p是q的充要条件,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.3.证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测变式训练2在△ABC中,求证角A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.证明充分性:在△ABC中,A+B+C=180°.∵B=60°,∴A+C=120°,∴A+C=2B.∴A,B,C成等差数列.必要性:∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测思维辨析一题多变——充分条件、必要条件、充要条件的应用典例已知命题p:x2-8x-20≤0,命题q:x2-2x+1-m2≤0(m0),且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0(m0),得1-m≤x≤1+m(m0).因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q且qp.即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m0}的真子集,所以解得m≥9或m9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.𝑚0,1-𝑚-2,1+𝑚≥10或1-𝑚≤-2,𝑚0,1+𝑚10,课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测延伸探究本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求m的取值范围.解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0(m0),得1-m≤x≤1+m(m0),因为p是q的必要不充分条件,所以q⇒p,且pq.则{x|1-m≤x≤1+m,m0}是{x|-2≤x≤10}的真子集.所以𝑚0,1-𝑚-2,1+𝑚≤10或𝑚0,1-𝑚≥-2,1+𝑚10,解得0m3或0m≤3.即m的取值范围是(0,3].课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测1.“x0”是“x20200”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当x0时,可以推得x20200;但当x20200时,不可以推得x0,故“x0”是“x20200”的充分不必要条件,故选A.答案A2.“α≠”是“sinα≠1”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案Aπ2解析当α≠π2时,不一定有sinα≠1,但当sinα≠1时,必有α≠π2,故“α≠π2”是“sinα≠1”的必要不充分条件.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测3.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)内为增函数”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2a,+∞)内为增函数,得2a≤2,即a≤1,故选B.答案B4.若a∈R,则“a=-3”是“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”的条件.(注:在“充要”“既不充分也不必要”“充分不必要”“必要不充分”中选填一个)解析“直线l