上海黄浦区一舟教育2017届高三上学期期末质量检测数学试题

2017届高三上学期期末质量检测数学试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合22|22,|logAxZxBxyx，则AB（）A．1,1B．1,0,1C．1D．0,12.已知命题:,sin1pxRx，则p为（）A．,sin1xRxB．,sin1xRxC．,sin1xRxD．,sin1xRx3.已知函数fx的定义域为0,2，则函数282xgxfx的定义域为（）A．0,1B．0,2C．1,2D．1,34.下列命题中的假命题是（）A．,30xxRB．00,lg0xRxC.0,,sin2xxxD．000,sincos3xRxx5.已知函数cos0fxx，将yfx的图象向右平移3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为（）A．3B．6C.9D．126.已知33,,tan224，则sincos的值是（）A．15B．15C.15D．757.设,abR，函数01fxaxbx，则0fx恒成立是20ab成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件8.过抛物线240yaxa的焦点F作斜率为1的直线,ll与离心率为e的双曲线222210xybab的两条渐近线的交点分别为,BC.若,,BCFxxx分别表示,,BCF的横坐标，且2FBCxxx，则e（）A．6B．6C.3D．39.《九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABCABC中，ACBC，若12AAAB，当阳马11BAACC体积最大时，则堑堵111ABCABC的体积为（）A．83B．2C.2D．2210.定义在R上的奇函数yfx满足30f，且当0x时，'fxxfx恒成立，则函数lg1gxxfxx的零点的个数为（）A．1B．2C.3D．4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知等比数列na中，141,8aa，则其前6项之和为．12.已知实数,xy满足103020xyxy，则24yx的最大值为．13.函数2sincoscosfxxxx的减区间是．14.如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为．15.设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym交于点,Pxy，则PAPB的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，13b.（1）若3sin4sinCA，求c的值；（2）求ac的最大值.17.（本小题满分12分）已知nS为各项均为正数的数列na的前n项和,210,2,326nnnaaaS.（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa，数列nb的前n项和为nT,若对,4nnNtT恒成立，求实数t的最大值.18.（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，32BABC.（1）若BA与BC的夹角为30，求ABC的面积ABCS；（2）若4,ACO为AC的中点，G为ABC的重心（三条中线的交点），且OG与OD互为相反向量求ADCD的值.ABCABCabcABC19.（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面,ABCABC与ACD是边长为2的等边三角形，2,BEBE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上.（1）求证:DE平面ABC；（2）求二面角EBCA的余弦值.20.（本小题满分13分）已知函数22ln1,2xxafxxxgxaRx.（1）求函数fx的单调区间及最值；（2）若对0,1xfxgx恒成立，求a的取值范围；（3）求证:1111...ln135721nnNn.21.（本小题满分14分）已知椭圆2222:10xyabab，过点2,12Q作圆221xy的切线，切点分别为,ST.直线ST恰好经过的右顶点和上顶点.（1）求椭圆的方程；（2）如图，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的弦,ABCD.①设,ABCD的中点分别为,MN，证明:直线MN必过定点，并求此定点坐标；②若直线,ABCD的斜率均存在时，求由,,,ACBD四点构成的四边形面积的取值范围.山东省枣庄市2017届高三上学期期末质量检测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:ADADB6-10:CADCC二、填空题11.6312.6713.5,,88kkkZ14.1015.25三、解答题16.解：(1)由角,,ABC的度数成等差数列，得2BAC.又,3ABCB.213213213sinsinsinsinsinsin3333acACAABAA21333sinsincos213sin2263AAA.由203A，得5666A.所以当62A，即3A时，max213ac.17.解：(1)当1n时，由2326nnnaaS，得2111326aaa，即211320aa.又10,2a，解得11a.由2326nnnaaS，可知2111326nnnaaS.两式相减，得2211136nnnnnaaaaa，即1130nnnnaaaa.由于0na，可得130nnaa，即13nnaa，所以na是首项为1，公差为3的等差数列.所以13132nann.(2)由32nan，可得12111111,...323133231nnnnnbTbbbaannnn1111111...3447323131nnnn.因为1110311313134nnnnTTnnnn，所以1nnTT，所以数列nT是递增数列.所以1141444nntttTTTt，所以实数t的最大值是1.18.解：(1)3264332,cos3032,cos303BABCBABCBABC，116431163sin3022323ABCSBABC.(2)以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则2,0,2,0AC，设,Dxy，则,ODxy，因为OG与OD互为相反向量，所以,OGxy.因为G为ABC的重心，所以33,3OBOGxy，即3,3,32,3,32,3BxyBAxyBCxy,因此22949BABCxy.由题意，2294932xy,即224xy.222,2,40ADCDxyxyxy.19.解：(1)由题意知，,ABCACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接,BODO，则,BOACDOAC.又平面ACD平面ABC，平面ACD平面,ABCACDO平面ACD，所以DO平面ABC.作EF平面ABC于F.由题意，点F落在BO上，且60EBF.在RtBEF中，3sin232EFBEEBF.在RtDOC中，3sin232DODCDCO.因为DO平面,ABCEF平面ABC，所以DOEF，又DOEF，所以四边形DEFO是平行四边形.所以DEOF.又DE平面,ABCOF平面ABC，所以DE平面ABC.(2)作FGBC，垂足为G，连接EG,EF平面,ABCEFBC.又,,EFFGFFGBCBC平面EFG.所以BCEG.所以EGF就是二面角EBCA的一个平面角.在RtBGF中，1sin1sin302FGFBFBG.在RtEFB中，sin2sin603EFEBEBF.在RtEFG中，22113132.cos213132FGEGEFFGEGFEG,即二面角EBCA的余弦值为1313.20.解：(1)fx的定义域为11,,'1.'010;'0011xfxfxxfxxxx,所以函数fx的增区间为1,0,减区间为0,.max00fxf,无最小值.(2)220,10,ln112xxaxfxgxxxxx0,ln110,21ln12axxxaxxx,令21ln1hxxx.则21'1ln1ln111xhxxxxx.当0x时，显然1'ln101hxxx，所以hx在0,上是减函数.所以当0x时，02hxh.所以，a的取值范围为2,.（3）又（2）知，当2,0ax时，2ln112xx，即ln12xxx.在式中，令1xkNk，得11ln12kkkk，即11ln21kkk，依次令1,2,3,...kn，得21314111ln,ln,ln,...,ln13253721nnn.将这n个式子左右两边分别相加，得1111ln1...35721nn.21.解：(1)过2,12作圆221xy的切线，一条切线为直线1y，切点0,1S.设另一条切线为212ykx，即22220kxyk.因为直线与圆221xy相切，则222144kk.解得22k.所以切线方程为223yx.由222231yxxy，解得221,33T，直线ST的方程为113102203yx,即212yx.令0x，则1y所以上顶点的坐标为0,1，所以1b；令0y，则2x，所以右顶点的坐标为2,0，所以2a，所以椭圆的方程为2212xy.(2)①若直线,ABCD斜率均存在，设直线1122:1,,,,ABykxAxyBxy,则中点1212,122xxxxMk.先考虑0k的情形.由221220ykxxy得2222124220kxkxk.由直线AB过点1,0F，可知判别式0恒成立.由韦达定理，得2122412kxxk，故2222,1212kkMkk，将上式中的k换成1k，则同理可得222,22kNkk.若22222122kkk，得1k，则直线MN斜率不存在.此时直线MN过点2,03.下证动直线MN过定点2,03P.②当直线,ABCD的斜率均存在且不为0