广东省清远市2015届高三数学上学期期末试卷-理(含解析)

广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）B．∁U（A∪B）C．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+bi与2﹣i互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4iB．5+4iC．3﹣4iD．3+4i3．（5分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1B．2或﹣1C．2D．﹣24．（5分）阅读如图的程序框图，若输入m=2，n=3，则输出a=（）A．6B．4C．3D．25．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1B．y=﹣x2C．D．y=x|x|6．（5分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1D．8．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=f（x）+a，则当实数a满足2＜a＜时，函数y=g（x）的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9．（5分）图中阴影部分的面积等于．10．（5分）在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是．11．（5分）几何体的三视图如图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为．12．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，直线L：x+y+a=0（a＞0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为．13．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．（二）选做题（考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）【几何证明选讲选做题】14．（5分）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则∠ACB=．【极坐标和参数方程选做题】15．在极坐标系中，点A（2，）与曲线θ=（ρ∈R）上的点的最短距离为．五、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinx•cosx﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c，且c=，f（C）=1，求三角形ABC的外接圆面积．17．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对2015届高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185～190cm之间的人数记为X，求X的分布列和期望．18．（14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4，∠BCP=90°，A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示．（1）在三棱锥P﹣ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）在图1中，过A作BC的平行线AE，AE=2，过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D，连接PE，PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小．19．（14分）已知双曲线Γ的焦点为（0，﹣2）和（0，2），离心率为，过双曲线Γ的上支上一点P作双曲线Γ的切线交两条渐近线分别于点A，B（A，B在x轴上方）．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）探究•是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．20．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，an+1=2Sn+2（n=1，2，3…）（1）求a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设bn=，求证：b1+b2+…+bn＜．21．（14分）设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）①若b是正实数，求使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立的b的取值范围；②证明：不等式﹣lnn≤（n∈N*）．广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）B．∁U（A∪B）C．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：根据Venn图和集合之间的关系进行判断．解答：解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁UB）．故选：C．点评：本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+bi与2﹣i互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4iB．5+4iC．3﹣4iD．3+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵a+bi与2﹣i互为共轭复数，∴a=2，b﹣1=0，解得a=2，b=1．∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1B．2或﹣1C．2D．﹣2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．解答：解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化简得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故选：B．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．4．（5分）阅读如图的程序框图，若输入m=2，n=3，则输出a=（）A．6B．4C．3D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：当a=6时，满足条件“n整除a？”，退出循环，输出a的值为6．解答：解：根据流程图所示的顺序，可知：m=2，n=3，i=1，a=2不满足条件“n整除a？”，i=2，a=4不满足条件“n整除a？”，i=3，a=6满足条件“n整除a？”，退出循环，输出a的值为6．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．6．（5分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题．分析：分析题可知：在题目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性质定理可由“α⊥β”推出“a⊥b”，从而可得答案．解答：解：由题意可得α∩β=l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，根据z=2x+y的最大值为3，先确定取得最大值时的最优解，即可求出b的值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小为3，即2x+y=3．由，解得，即A（，），此时点A也在直线y=﹣x+b上．即=﹣+b，即b=．故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，先确定最优解以及，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=f（x）+a，则当实数a满足2＜a＜时，函数y=g（x）的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：当0＜x≤1时，f（x）=﹣（+2x），分析可知g（x）=f（x）+a有2个零点；当x＞1时，令x2﹣2x﹣+a=0可判断函数y=g（x）有1个零点；从而确定零点的个数即可．解答：解：①当0＜x≤1时，f（x）=﹣（+2x）；故f（x）在（0，]上是增函数，f（x）≤﹣2；f（x）在（，1]上是减函数，﹣≤f（x）＜﹣2；故当2＜a＜时，g（x）=f（x）+a有2个零点；②当x＞1时，令g（x）=f（x）+a=0得，x2﹣2x﹣+a=0，△=4+4（﹣a）=4（﹣a）＞0；故方程x2﹣2x﹣+a=0有两个不同的根；而对称轴为x=1；故函数y=g（x）有1个零点；综上所述，函数y=g（x）的零点个数为3；故选：C．点评：本题考查了分类讨论的思想应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9．（5分）图中阴影部分的面积等于1．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据题意，所求面积为函数3x2在区间上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：1点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．10．（5分）在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．解答：解：由题意，正方形的面积为2×2=4，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的P的集合为如图的阴影部分的面积为4﹣π，由几何概型的公式点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是得；故答案为：点评：本题考查了几何概型的运用；几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无