北京市海淀区2016届高三数学下学期期中练习试题-理(扫描版)

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2016.4DABC阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ADCACBCB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）在ACD中，由正弦定理,有sinsinACADADC…………………2分在BCD中，由正弦定理,有sinsinBCBDBDC…………………4分因为πADCBDC,所以sinsinADCBDC…………………6分因为13ADDB,所以sin3sinACBC…………………7分（Ⅱ）因为π6，π2,由（Ⅰ）得πsin32π23sin6ACBC…………………9分设2,3,0ACkBCkk,由余弦定理,2222cosABACBCACBCACB…………………11分代入,得到222π1949223cos3kkkk,解得1k,所以3BC.…………………13分9．310．511.1212．2213yx13．4,614．2,[62,2)[23,4]16解:(I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数3.64.44.43.644x…………………2分则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S估算为100400Sxg…………………3分（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s和22s，结果为21s22s.…………………6分（Ⅲ）依题意，随机变量可以取7.27.488.28.69.4，，，，，，…………………7分1(7.2)4P,1(7.4)8P1(8)4P,1(8.2)8P1(8.6)8P,1(9.4)8P…………………9分随机变量的分布列为…………………11分随机变量的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E.…………………13分17解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，ABBC,…………………1分因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.…………………2分因为ABPAA，且AB，PA平面PAB，所以BC平面PAB…………………4分（Ⅱ）证明：因为BC平面PAB，PB平面PAB,所以BCPB…………………5分7.27.488.28.69.4p141814181818在PBC中，BCPB，MNPB，所以MNBC.…………………6分在正方形ABCD中，ADBC,所以MNAD，…………………7分所以MNAD，可以确定一个平面，记为所以,,,MNDA四个点在同一个平面内…………………8分（Ⅲ）因为PA平面ABCD，,ABAD平面ABCD，所以PAAB,PAAD.又ABAD,如图，以A为原点，,,ABADAP所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Axyz,…………………9分所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)CDBP.设平面DAN的一个法向量为(,,)nxyz，平面CAN的一个法向量为(,,)mabc,设PNPC,[0,1]，因为(2,2,2)PC，所以(2,2,22)AN，又(0,2,0)AD，所以00ANnADn，即22(22)020xyzy，…………………10分取1z,得到1(,0,1)n,…………………11分因为(0,0,2)AP，(2,2,0)AC所以00APmACm，即20220cab，取1a得,到(1,1,0)m,…………………12分因为二面CAND大小为3,所以π1|cos,|cos32mn,zyxNMDCBAP所以211|cos,|2||||12()1mnmnmn解得12,所以3PN…………………14分18解:（Ⅰ）函数()fx的定义域为(0,)，…………………1分22111'()xfxxxx…………………2分当x变化时，'()fx，()fx的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)'()fx0()fx极小值…………………4分函数()fx在(,)0上的极小值为1()ln1101fa，所以()fx的最小值为0…………………5分（Ⅱ）解：函数()gx的定义域为(0,1)(1,)，…………………6分22211ln(1)ln1()'()lnlnlnxxxfxxxgxxxx…………………7分由（Ⅰ）得，()0fx，所以'()0gx…………………8分所以()gx的单调增区间是(0,1),(1,)，无单调减区间.…………………9分（Ⅲ）证明：假设直线yx是曲线()gx的切线.………………10分设切点为00(,)xy，则0'()1gx，即00201ln11lnxxx…………………11分又000001,lnxyyxx，则0001lnxxx.…………………12分所以000011ln1xxxx,得0'()0gx，与0'()1gx矛盾所以假设不成立，直线yx不是曲线()gx的切线…………………13分19解：（Ⅰ）由题意可得，1b，…………………1分32cea，…………………2分得22134aa，…………………3分解24a，…………………4分椭圆C的标准方程为2214xy.…………………5分（Ⅱ）设000(,)(02)Pxyx，(0,1)A，(0,1)B，所以001PAykx，直线PA的方程为0011yyxx，…………………6分同理：直线PB的方程为0011yyxx，直线PA与直线4x的交点为004(1)(4,1)yMx，…………………7分直线PB与直线4x的交点为004(1)(4,1)yNx，线段MN的中点004(4,)yx，…………………8分所以圆的方程为22200044(4)()(1)yxyxx，…………………9分令0y，则222002016(4)(1)4yxxx，…………………10分因为220014xy，所以2020114yx，…………………11分所以208(4)50xx，因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以0850x，解得08(,2]5x.…………………12分设交点坐标12(,0),(,0)xx，则1208||25xxx（0825x）所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.…………………14分方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)Pxyx，(0,1)A，(0,1)B，所以001PAykx，直线PA的方程为0011yyxx，…………………6分同理：直线PB的方程为0011yyxx，直线PA与直线4x的交点为004(1)(4,1)yMx，…………………7分直线PB与直线4x的交点为004(1)(4,1)yNx，若以MN为直径的圆与x轴相交，则004(1)[1]yx004(1)[1]0yx，…………………9分即2000200016(1)4(1)4(1)10,yyyxxx即2020016(1)810.yxx…………………10分因为220014xy，所以2020114yx,…………………11分代入得到0850x，解得08(,2]5x.…………………12分该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|yyxxx，圆心到x轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2yyyxxx，该圆在x轴上截得的弦长为22000044882(1)()25,(2)5yxxxx；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.…………………14分方法三：（Ⅱ）设000(,)(02)Pxyx，(0,1)A，(0,1)B，所以001PAykx，直线PA的方程为0011yyxx，…………………6分同理：直线PB的方程为0011yyxx，直线PA与直线4x的交点为004(1)(4,1)yMx，…………………7分直线PB与直线4x的交点为004(1)(4,1)yNx，所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|yyMNxxx，…………………8分圆心到x轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2yyyxxx，…………………9分若该圆与x轴相交，则04|1|x004||yx，…………………10分即2200044(1)()0yxx，因为220014xy，所以2020114yx,…………………11分所以0850x，解得08(,2]5x…………………12分该圆在x轴上截得的弦长为22000044882(1)()2525=22yxxx；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.…………………14分方法四：记(20)D，,(40)H，，设00(,)(4,)(4,)PxyMmNn由已知可得(0,1)(0,1)AB，所以AP的直线方程为0011yyxx，……………………….6分BP的直线方程为0011yyxx，令4x，分别可得004(1)1ymx，004(1)1ynx，……………………….8分所以004(1)(4,1),yMx004(1)(41)yNx，若以MN为直径的圆与x轴相交于,EF，因为EHMN，所以2EHHNHM，……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)yyEHHNHMxx220002016168()yxxx……………………….10分因为220014xy，所以2020114yx,……………………….11分代入得到2EH20020850xxx所以08(,2]5x，……………………….12分所以0882252522EFEHx所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.…………………14分方法五：设直线OP与4x交于点T因为//MNy轴，所以有,,APAOOPBPBOOPPNTNPTPMTMPT所以AOBOTNTM，所以TNTM，所以T是MN的中点.……………………….6分又设000(,)(02)Pxyx,所以直线OP方程为00yyxx,……………………….7分令4x,得004yyx,所以004(4)yTx，……………………….8分而041rTNx……………………….9分若以MN为直径的圆与x轴相交于,EF则00044||1ydrxx……………………….10分所以220016(4)yx因为220014xy，所以2020114yx,代入得到……………………….11分所以200580xx，所以085x或00x因为点002x，所以0825x……………………….12分而22220004422(1)()yEFrdxx088252522x所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.…………………14分20解：（I）依照题意，可以取5,7A，4,8B，1,2,3,6C…………………3分（II）假设存在n是3的倍数且nU是可分集合.设3nk，则依照题意{3,6,,3}kC，故CS2333632kkk，而这n个数的和为(1)2nn，故21(1)3322CnnkkS2332kk,矛盾，所以n是3的倍数时，nU一定不是可分集合…