北京市2015届高三上学期期中考试模拟卷(理)

北京市2015届高三上学期期中考试模拟卷2014.11数学（理）（满分150分，考试时长120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若全集U={x∈R|x2≤4},则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集∁UA为（）A.{x∈R|0x2}B.{x∈R|0≤x2}C.{x∈R|0≤x≤2}D.{x∈R|0x≤2}2.cos380sin980-cos520sin1880的值为（）A．B．C．D．3.已知为等比数列，Sn是它的前n项和.若，且a4与a7的等差中项为，则等于（）A．29B．31C．33D．354.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（）A．1B．2C．3D．45.已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(-),则λ=（）A．-6B．-5C．-4D．-36.设函数，其中，则导数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.函数满足：（i）x∈R，，（ii）x∈[-1，1]，．给出如下四个结论：①函数在区间[1，2]单调递减；②函数在点（）处的切线方程为4x+4y－5=0；③若数列满足，则其前n项和；④若有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.若，则的最小值为10.将函数的图像向右平移个长度单位后，所得图像经过点，则实数的最小值是_____________________.11.已知，若满足不等式组,则的取值范围是__________.12.已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为_________13.给出下列命题：①xR，使；②若、是第一象限角，则“”是“coscos”的充分不必要条件；③函数是偶函数；④A、B、C为锐角的三个内角，则.其中正确命题的序号是___________．（把正确命题的序号都填上）14.对于两个图形，我们将图形上的任意一点与图形上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”.给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________.（写出所有正确命题的编号）①；②，；③，；④，；⑤，.三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的值和的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的前n项和.17.（本小题满分13分）在锐角中，角、、所对的边长分别为、、向量，,且.（1）求角的大小；（2）若面积为,,求的值.18.（本小题满分13分）已知函数，，其中．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．19.（本小题满分14分）已知等差数列满足又数列中,且，（1）求数列,的通项公式;（2）若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.（Ⅰ）已知函数，若且，求实数的取值范围；（Ⅱ）已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；（Ⅲ）定义集合请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.答案部分1.考点:集合的运算，绝对值不等式，一元二次不等式试题解析:∵全集U={x∈R|-2≤x≤2},A={x∈R|-2≤x≤0},∴∁UA={x∈R|0x≤2},故选D.答案:D2.考点:两角和与差的三角函数，诱导公式试题解析:.答案:C3.考点:等比数列试题解析:由，得，所以.即.又因为a4与a7的等差中项为，所以，解得.故公比.所以.故.答案:B4.考点:零点与方程试题解析:，，所以，所以，所以.答案:B5.考点:平面向量坐标运算试题解析:∵m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),∴(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,λ=-3.答案:D6.考点:导数计算，恒等变换综合，三角函数综合试题解析:，则=，当时，，所以，所以，即.答案:A7.考点:数列综合应用，数列的递推关系试题解析:因为是递增数列，所以，即，解得.答案:C8.考点:函数的单调性与最值，函数的奇偶性，导数的概念和几何意义，零点与方程试题解析:由于函数满足（i），则函数是周期函数，2是一个周期.①中，当时，，则，则函数在是增函数，所以①不正确；②中，当x∈[-1，1]时，，则，所以，所以函数在点（）处的切线方程为，即，所以②正确；③中，由于函数是周期函数，则，则，所以数列是公差为0的等差数列，又，所以，所以③正确；④中，设，则，原方程变为，所以，由于，则，所以④正确.即有3个命题正确.答案:C9.考点:均值定理试题解析:因为，所以，故答案填写答案:10.考点:三角函数的图像与性质，三角函数图像变换试题解析:将函数的图像向右平移个长度单位后，得函数的图象，所以，即，所以，所以，所以，由于，所以实数的最小值是.答案:11.考点:积分，线性规划试题解析:，故不等式组即为作出不等式组表示的可行域（图略），易知可行域的三角形的三个顶点坐标分别为，代入目标函数求得的值分别为-1，-4，-6，故的取值范围是.答案:12.考点:平面向量坐标运算试题解析:此题可以用坐标法解决。以BC的中点O为原点，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(),B(-2,0),C(2,0)，则由题意可得，.容易得到为以角D为直角的直角三角形，所以面积为答案:13.考点:正弦定理，三角函数综合，恒等变换综合，充分条件与必要条件，简单的逻辑连结词试题解析:对于①，，故①错误；对于②，举反例，满足都是第一象限角，且，但.故②错误；对于③，满足且定义域是，故是偶函数.故③正确；对于④，因为A、B、C都为锐角，且易知，所以.故.即.故④正确.综上，正确命题的序号是③④.答案:③④14.考点:命题及其关系，三角函数的图像与性质，函数综合，推理与证明试题解析:对于①，因为，所以与的距离大于等于1，故①错误，对于②，因为，令，，，到直线的距离为，故②满足互为“可及函数”，对于③，因为，，所以与的距离大于等于1，故③错误，对于④，当时，，，而与之间的距离为，故④满足互为“可及函数”，对⑤，由，到直线的距离为，所以与的距离大于等于，故⑤不满足互为“可及函数”.答案:②④15.考点:三角函数应用，恒等变换综合答案:（I）因为.（4分）所以.（6分）所以的周期为.（7分）（II）当时，，,（9分）所以当时，函数取得最小值；（11分）当时，函数取得最大值.（13分）16.考点:公式法，分组求和答案（Ⅰ）当时，，，，（4分）又当时，，（5分）.（6分）（Ⅱ），（7分）（9分）.（13分）17.考点:解斜三角形，同角三角函数的基本关系式，平面向量坐标运算答案:(1)，（2分），∴，（4分）为锐角三角形,∴，，,（6分）.（7分）(2)由（1）得，∴,（8分）又，∴，整理得.（10分）又，整理得，（12分）解方程组得或（13分）18.考点:利用导数求最值和极值，利用导数研究函数的单调性答案:（Ⅰ）解：的定义域为，且．（2分）①当时，，故在上单调递减．从而没有极大值，②也没有极小值．（3分）③当时，令，得．和的情况如下：（4分）↘极小值↗故的单调减区间为；单调增区间为．（5分）从而的极小值为；没有极大值．（6分）（Ⅱ）解：的定义域为，且．（7分）（1）当时，显然，从而在上单调递增．由（Ⅰ）得，此时在上单调递增，符合题意．（8分）（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．（9分）（3）当时，令，得．和的情况如下表：（10分）↘极小值↗当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．（11分）当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．（12分）综上，的取值范围是．（13分）19.考点:倒序相加，错位相减，裂项抵消求和，数列综合应用，等差数列答案:(1)设等差数列的公差为,则有解得，（2分），，数列是以为首项,公比为的等比数列.（4分）(2)由(1)可得（5分），（6分）得，（7分）（8分）(3)，∴（10分）当时,取最小值,,，即，（11分）当时，恒成立，即满足题意；（12分）当时，由，解得，即（13分）综上所得，实数的取值范围是.（14分）20.考点:利用导数求最值和极值，函数的单调性与最值，合情推理与演绎推理，函数综合答案:（I）因为且，则在是增函数，则对恒成立，所以，（2分）而在不是增函数，，当在上是增函数时，恒有，则，所以当不是增函数时，，综上所得，实数的取值范围是.（4分）(Ⅱ)因为，且，所以，所以，所以，（6分）同理可证，，以上三式相加得所以,所以，（8分）因为，所以所以而，所以，所以，所以.（9分）(Ⅲ)因为集合所以，存在常数，使得对成立，我们先证明对成立，假设使得，记,因为是二阶比增函数，即在上是增函数.所以当时，，所以,所以一定可以找到一个，使得,这与对成立矛盾,（11分）对成立,所以，对成立,下面我们证明在上无解,假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数,一定存在，，这与上面证明的结果矛盾,所以在上无解,（13分）综上所得，我们得到，对成立,所以存在常数，使得，，有成立,又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有,所以的最小值为0.（14分）