江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题6

开始i←1i←i2i22i63）输出i结束（第4题）YN2016年数学全真模拟试卷六试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．.1.已知集合1359U，，，，139A，，，19B，，则()UABUð▲．【答案】{5}2.已知复数z满足(z2)i1i(i为虚数单位)，则复数z的模是▲．【答案】103.已知函数afxx在1x处的导数为2，则实数a的值是▲．【答案】24.右图是某算法的流程图，则输出的i的值为▲．【答案】75.有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是▲．【答案】356.某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10%的工人进行调查．首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是▲．【答案】6177.在平面直角坐标系xOy中，已知角π4的终边经过点13P，，则tan的值为▲．【答案】238.已知0x，0y，且2520xy，则lglgxy的最大值为▲．【答案】19.已知等比数列{}na的前n项和为3()nnSkk*N，则2ka的值为▲．【答案】610.已知()yfx是R上的奇函数，且0x时，()1fx，则不等式2()(0)fxxf的解集为▲．【答案】（0，1）【解析】易得2()0fxx，即20xx，解得x（0，1）．11.设向量acos25sin25，，bsin20cos20，，若t是实数，且tuab，则u的最小值为▲．【答案】22【解析】因为22222221212sin45212ttttttt≥uababab，所以u的最小值为22．12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2221xy的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…”②解：设AB的斜率为k，…点B2221221212kkkk，，D503，，…”据此，请你写出直线CD的斜率为▲．（用k表示）【答案】2324kk【解析】将点B2221221212kkkk，用2k代替得点C的坐标2228488kkkk，，从而直线CD的斜率为2324kk．13．使“ab”成立的必要不充分条件是“▲”．（填上所有满足题意的序号）①0x，abx≤；②0x≥，axb；③0x≥，abx；APBPCPMPDPP（第16题）④0x，axb≤．【答案】①【解析】①0x，abx≤，从而0ab≤，即ab≤；②0x≥，bax，从而0ba，即ab；③0x≥，abx，从而0ab，即ab；④0x，bax≥，从而0ba，即ab．14.在△ABC中，已知sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则tanA＋tanB＋tanC的值为▲．【答案】196【解析】依题意cosAsinA＝13cosBcosC13sinBsinC，即cosAsinA＝13cosBC，即cosAsinA＝13cosA，所以tanA14，又易得tanA＝tanBtanC，而tanA＋tanB＋tanCtanAtanBtanC，所以tanA＋tanB＋tanCtan2A196．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AD//BC，且AD=2BC，AD⊥CD，PA=PD，M为棱AD的中点．（1）求证：CD//平面PBM；（2）求证：平面PAD⊥平面PBM．证明：（1）因为AD//BC，且AD=2BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故CD//BM，又CD平面PBM，BM平面PBM，所以CD//平面PBM；（6分）（2）因为PA=PD，点M为棱AD的中点，所以PM⊥AD，又AD⊥CD，CD//BM，故AD⊥BM，而PMBMM，PM、BM平面PBM，所以AD⊥平面PBM，又AD平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．（14分）16．（本题满分14分）在△ABC中，6BC，2ABAC．（1）求证：△ABC三边的平方和为定值；（2）当△ABC的面积最大时，求cosB的值．证明：（1）因为2ABAC，所以cos2ABACA．(3分)在△ABC中，由余弦定理得2222cosBCABACABACA，即222(6)4ABAC，于是2210ABAC，故22210616ABBCAC为定值．(6分)解：（2）由（1）知2210ABAC，所以2252ABACABAC≤，当且仅当ABAC时取“=”号．(8分)因为cos2ABACA，所以2cosAABAC，从而2224sin1cos1AAABAC．(10分)△ABC的面积22114sin122SABACAABACABAC2221114254222ABAC≤，(12分)当且仅当ABAC时取“”号．因为2210ABAC，所以当ABAC时，5ABAC，故6302cos1025BCBAB．(14分)17．（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nEcvT，其中v为行进时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：小时），c为常数，n为能量次级数．如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h，即4v，所以200T4v，即2004Tv，4v；（4分）（2）(ⅰ)当能量次级数为2时，由（1）知22004vEcv，4v，2(4)42004vcv16200(4)84cvv162002(4)84cvv≥3200c=（当且仅当1644vv即8vkm/h时，取等号）（9分）(ⅱ)当能量次级数为3时，由（1）知32004vEcv，4v，所以222(6)2000(4)vvEcv得6v，当6v时，0E；当6v时，0E，所以当6v时，minE21600c=．答：(ⅰ)该探测器消耗的最少能量为3200c；(ⅱ)6vkm/h时，该探测器消耗的能量最少．（14分）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且与椭圆C有两个交点A，B，记线段AB的中点为M．（1）求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若直线l过点3mm，，延长OM与椭圆C交于点P．问：四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求直线l的斜率；若不能，说明理由．（1）证明：设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．则222112222299xymxym，，，两式相减得1212121290xxxxyyyy，整理得121212129yyyyxxxx，即kOMk＝－9，得证．(6分)（2）四边形OAPB能为平行四边形．(8分)因为直线l过点3mm，，且l不过原点且与椭圆C有两个交点，则k0，k3，由(1)得直线OM的方程为9yxk，设点P的横坐标为xP，由22299yxkxym，得，239Pkmxk；(10分)将点3mm，的坐标代入l的方程ykxb得(3)3kmb，因此2(3)39Mkkmxk，(12分)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，于是239kmk2(3)239kkmk，解得147k，247k，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形．(16分)19．（本题满分16分）设函数()fx，()gx的定义域均为R，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，()()fxgxex，其中e为自然对数的底数.（1）求()fx，()gx的表达式；（2）设0a≤，1b≥，0x，证明：()()(1)()(1)fxagxabgxbx.解：（1）由()()fxgxex得，()()fxgxex，因为()fx是奇函数，()gx是偶函数，所以()()fxgxex，从而ee()2xxfx，e+e()2xxgx(4分)（2）当0x时，e10e1xx，，所以()0fx，e+e()ee12xxxxgx.(6分)由（1）得，e+e()()2xxfxgx，ee()()2xxgxfx，(8分)当0x时，()()(1)()()(1)fxagxafxaxgxaxx，()()(1)()()(1)fxbgxbfxbxgxbxx，设函数()()()(1)Pxfxcxgxcx，(10分)则()()()()(1)(1)()1()Pxfxcgxxgxccgxcxfx，(12分)若0c≤，0x，则()0Px，故()Px为0，上增函数，所以()(0)0PxP，若1c≥，0x，则()0Px，故()Px为0，上减函数，所以()(0)0PxP，综上知，()()(1)()(1)fxagxabgxbx.（16分）20．（本题满分16分）设()kfn为关于n的k()kN次多项式．数列{an}的首项11a，前n项和为nS．对于任意的正整数n，()nnkaSfn都成立．（1）若0k，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．解：（1）若0k，则()kfn即0()fn为常数，不妨设0()fnc（c为常数）．因为()nnkaSfn恒成立，所以11aSc，即122ca．而且当2n≥时，2nnaS，①112nnaS，②①－②得120(2)nnaannN，≥．若an=0，则1=0na，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()nanN．故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i)若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分）(ii)若k=1，设1()fnbnc（b，c为常数），当2n≥时，nnaSbnc，③11(1)nnaSbnc，④③－④得12(2)nnaabnnN，≥．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有nabd（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1*nN，故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1*nN，此时1()1fnn．（9分）(iii)若k=2，设22()fnanbnc（0a，a，b，c是常数），当2n≥时，2nnaSanbnc，⑤211(1)(1)nnaSanbnc，⑥⑤－⑥得122(2)nnaaanbannN，≥，要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有2naanbad，且d=2a，考虑到a