北京市西城区2016届高三数学二模考试试题-文

北京市西城区2016年高三二模试卷数学（文科）2016.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设全集UR，集合{|0}Axx，{|1}Bxx，则集合()UABð（）（A）(,0)（B）(,0]（C）(1,)（D）[1,)2.下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）（A）1yx（B）exy（C）3yx（D）lnyx3.设x，y满足约束条件2,1,10,yxxyy≤≤≥则3zxy的最大值是（）（A）43（B）73（C）13（D）14．执行如图所示的程序框图，如果输出的115S，那么判断框内应填入的条件是（）（A）3i（B）4i（C）5i（D）6i否输出S是2,1iS开始11iSSi1ii结束5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若1sin()3AB，3a，4c，则sinA（）（A）23（B）14（C）34（D）166.“0mn”是“曲线221mxny+=为焦点在x轴上的椭圆”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费()fx(元)满足关系,0,()(),.CxAfxCBxAxA≤ìïï=íï+-ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）（A）11.5元（B）11元（C）10.5元（D）10元8.设直线l：340xya++=，圆22(2)2Cxy：-+=，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（,PQ为切点）满足90PMQ?o，则a的取值范围是（）（A）[18,6]-（B）[652,652]-+（C）[16,4]-（D）[652,652]---+第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知复数(2i)(1i)z，则在复平面内，z对应点的坐标为_____.10.设平面向量,ab满足||||2ab，()7aab，则向量,ab夹角的余弦值为_____.11.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为22yx，则其离心率为____；若点(4,2)在C上，则双曲线C的方程为____.13.设函数22,1,()log,1,xxfxxx≥那么1[()]2ff____；若函数()yfxk有且只有两个零点，则实数k的取值范围是_____.14.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片.那么在这5部微电影中，最多可能有____部优秀影片.2正（主）视图侧（左）视图俯视图112三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2()(13tan)cosfxxx.（Ⅰ）求函数()fx的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当π(0,)2x时，求函数()fx的值域.16．（本小题满分13分）已知数列{}na的前n项和nS满足432nnaS，其中nN.（Ⅰ）求证：数列{}na为等比数列；（Ⅱ）设142nnban，求数列{}nb的前n项和nT.17．（本小题满分14分）如图，在周长为8的矩形ABCD中，,EF分别为,BCDA的中点.将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得60DFA.设G为AF上一点，且满足//CF平面BDG.（Ⅰ）求证：EFDG；（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；（Ⅲ）求线段CG长度的最小值.18．（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层FEGABDCCABFEDCC抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.19．（本小题满分13分）已知函数2()()xafxxa．（Ⅰ）若()1fa，求a的值；（Ⅱ）设0a≤，若对于定义域内的任意1x，总存在2x使得21()()fxfx，求a的取值范围.20．（本小题满分14分）已知抛物线C：24xy，过点)0)(,0(mmP的动直线l与C相交于BA,两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线BQAQ,与x轴分别相交于点FE,.（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线ym上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.O时间(小时)10203040500.0050.0250.030频率组距0.035高中生组O时间(小时)10203040500.005a频率组距初中生组0.0200.040北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．C3．B4．C5．B6．D7．A8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(3,1)10．3411．312．6222184xy13．121(,)214．5注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()fx的定义域为{|xxR，且ππ,}2xkkZ.………………2分又因为2()(13tan)cosfxxx2sin(13)coscosxxx………………3分2cos3sincosxxx1cos23sin222xx………………7分π1sin(2)62x，………………9分所以()fx的最小正周期为2ππ2T.（验证知其定义域与之相符）……………10分（Ⅱ）解：由π(0,)2x，得ππ7π2666x，………………11分所以1πsin(2)126x≤，所以当π(0,)2x时，3()(0,]2fx，即函数()fx在区间π(0,)2的值域为3(0,]2.………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为432nnaS，○1所以当1n时，11432aS，解得12a；…………………2分当2n≥时，11432nnaS，○2…………………3分由○1—○2，得11443()0nnnnaaSS，所以14nnaa，由12a，得0na，所以14nnaa，其中2n≥.故{}na是首项为2，公比为4的等比数列.…………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得124nna.…………………8分所以114442nnnbann.则{}nb的前n项和011(44)(48)(44)nnTn011(444)(484)nn………………10分14(44)142nnn241223nnn.………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，,EF分别为,BCDA的中点，所以EFFD，EFFA，又因为FDFAF，所以EF平面DFA.………………2分又因为DG平面DFA，所以EFDG.………………4分（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，,EF分别为,BCDA的中点，所以在立体图中，////ABEFCD.即在立体图中，四边形ABCD为平行四边形.连接AC，设ACBDO，则AOCO.………………6分又因为//CF平面BDG，CF平面ACF，平面ACF平面BDGOG，所以//CFOG，所以在ACF中，OG为中位线，即G为线段AF的中点.………………9分（Ⅲ）解：因为G为线段AF的中点，60DFA所以DFA为等边三角形，且DGFA，又因为EFDG，EFFAF，所以DG平面ABEF.设BE的中点为H，连接,GHCH，易得四边形DGHC为平行四边形，所以CH平面ABEF，所以222CGGHCH.………………11分设DFx，由题意得32CHDGx，42GHCDx，所以2222319(42)()161624CGxxxx，………………13分所以当3219x时，2min4819CG.所以线段CG长度的最小值为45719.………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a.………………3分（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.………………4分因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450人，………………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35，学生人数约有0.351200420人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870人.………………8分FEGABDCCCOH（Ⅲ）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，………………9分初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05，样本人数为0.05603人.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05，样本人数为0.05402人.………………10分记这3名初中生为123,,AAA，这2名高中生为12,BB，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：12(,)AA，13(,)AA，11(,)AB，12(,)AB，23(,)AA，21(,)AB，22(,)AB，31(,)AB，32(,)AB，12(,)BB，而事件A的结果有7种，它们是11(,)AB，12(,)AB，21(,)AB，22(,)AB，31(,)AB，32(,)AB，12(,)BB，所以7()10PA.………………13分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()yfx的定义域{|}DxxxaR且，由题意，()fa有意义，所以0a.求导，得244()()2()()(3)()()()xaxaxaxaxafxxaxa.………………3分所以24241()1164afaaa，解得12a.………………5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x，总存在2x使得21()()fxfx”等价于“()fx不存在最小值”．………………6分①当0a时，由1()fxx，得()fx无最小值，符合题意．………………8分②当0a时，令4()(3)()0()xaxafxxa，得xa或3xa.………………9分随着x的变化时，()fx与()fx的变化情况如下表：x(,3)a3a(3,)aaa(,)a()fx0不存在()fx↘极小↗不存在↘………………11分所以函数()fx的单调递减区间为(,3)a，(,)a，单调递增区间为(3,)aa．因为当xa